一则有关伽马函数与三角函数的积分问题

计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln [\Gamma(x)] \sin \pi x \, \mathrm{d}x$

看到 $\ln$ 套着 $\Gamma$，并且积分上下限是 $[0,1]$，很自然地想到余元公式

记

$$I=\displaystyle \int_{0}^{1} \ln [\Gamma(x)] \sin \pi x \, \mathrm{d}x$$

令 $t=1-x$，原式变为

$$I=\int_{0}^{1} \ln [\Gamma(1-t)] \sin \left(\pi \left(1-t\right)\right) \, \mathrm{d}t$$

化简得

$$I=\int_{0}^{1} \ln [\Gamma(1-x)] \sin \pi x \, \mathrm{d}x$$

与原来的 $I$ 相加得

$$\begin{align*} 2I &= \int_{0}^{1} \ln [\Gamma(1-x)\Gamma(x)] \sin \pi x \, \mathrm{d}x\\ &= \int_{0}^{1} \ln \left( \frac{\pi}{\sin \pi x} \right) \cdot \sin \pi x \, dx \end{align*}$$

即

$$\begin{align*} I &= \frac{\ln \pi}{2} \int_{0}^{1} \sin \pi x \, \mathrm{d}x- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin \pi x \ln (\sin \pi x) \, \mathrm{d}x\\ &=\frac{\ln \pi}{\pi} - \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \sin x \ln (\sin x) \, \mathrm{d}x \end{align*}$$

记

$$\displaystyle J = \int_{0}^{\pi/2} \sin x \ln (\sin x) \, \mathrm{d}x$$

本题的核心便是求解这个积分，下面给出两种求法

法一：

转化成二重积分

$$\begin{align*} J &= \int_{0}^{\pi/2} \int_{\sin x}^{1} \frac{\sin x}{y} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x\\ & = \int_{0}^{1} \int_{0}^{\arcsin y} \frac{\sin x}{y} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \\ & = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-y^2}-1}{y} \, \mathrm{d}y \end{align*}$$

由于

$$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-y^2}-1}{y} \, \mathrm{d}y=-\int_{0}^{1} \frac{y}{1 + \sqrt{1-y^2}} \, \mathrm{d}y$$

令 $t=1 +\sqrt{1-y^2}$

则

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-y^2}-1}{y} \, \mathrm{d}y &=-\int_{0}^{1} \frac{y}{1 + \sqrt{1-y^2}} \, \mathrm{d}y\\ &=-\int_{1}^{2}\frac{t-1}{t}\, \mathrm{d}t\\ &=\ln 2-1 \end{align*}$$

故

$$I = \frac{1}{\pi} \left( 1 + \ln \frac{\pi}{2} \right)$$

法二

考虑

$$F\left(a\right)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^a x\, \mathrm{d}x$$

其导数

$$F'\left(a\right)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^a x\cdot \ln\sin x\, \mathrm{d}x$$

$F’\left(1\right)$ 便是我们要求的值

对于 $F\left(a\right)$，我们可以通过适当变形将其化为 $\mathrm{Beta}$ 函数

令 $t = \sin^2 x$，则 $\, \mathrm{d}t = 2 \sin x \cos x \, \mathrm{d}x$，$\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{\, \mathrm{d}t}{2\sqrt{t} \sqrt{1-t}}$

$$\begin{align*} F(a) &= \int_{0}^{1} t^{a/2} \cdot \frac{\, \mathrm{d}t}{2\sqrt{t} \sqrt{1-t}} \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{\frac{a-1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}\, \mathrm{d}t\\ & = \frac{1}{2} B \left( \frac{a+1}{2}, \frac{1}{2} \right)\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot \frac{ \Gamma\left(\frac{a+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{a}{2}+1\right)} \end{align*}$$

为简化求导过程，我们对 $F(a)$ 取自然对数，然后对两边关于 $a$ 求导：

$$\ln F(a) = \ln \frac{\sqrt{\pi}}{2} + \ln \Gamma \left( \frac{a+1}{2} \right) - \ln \Gamma \left( \frac{a}{2} + 1 \right)$$

对两边关于 $a$ 求导：

$$\frac{F'(a)}{F(a)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\Gamma' \left( \frac{a+1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{a+1}{2} \right)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\Gamma' \left( \frac{a}{2} + 1 \right)}{\Gamma \left( \frac{a}{2} + 1 \right)}$$

我们引入 digamma 函数，记作 $\psi(z)$：

$$\psi(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$$

因此，上式可表示为：

$$\frac{F'(a)}{F(a)} = \frac{1}{2} \psi \left( \frac{a+1}{2} \right) - \frac{1}{2} \psi \left( \frac{a}{2} + 1 \right)$$

将 $F(a)$ 乘到右边：

$$F'(a) = F(a) \cdot \left[ \frac{1}{2} \psi \left( \frac{a+1}{2} \right) - \frac{1}{2} \psi \left( \frac{a}{2} + 1 \right) \right]$$

代入 $F\left(a\right)$ 的值：

$$F'(a) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{a+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{a}{2}+1\right)} \cdot \left[ \frac{1}{2} \psi\left( \frac{a+1}{2} \right) - \frac{1}{2} \psi\left( \frac{a}{2}+1 \right) \right]$$

进一步化简：

$$F'(a) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{a+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{a}{2}+1\right)} \cdot \left[ \psi\left( \frac{a+1}{2} \right) - \psi\left( \frac{a}{2}+1 \right) \right]$$

因此，$F(a)$ 的导数为：

$$F'(a) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{a+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{a}{2}+1\right)} \cdot \left[ \psi\left( \frac{a+1}{2} \right) - \psi\left( \frac{a}{2}+1 \right) \right]$$

将 $a=1$ 代入

$$F'(1) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \cdot \frac{\Gamma\left(1\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot \left[ \psi\left(1\right) - \psi\left( \frac{3}{2}\right) \right]$$

由 digamma 函数的性质，有

$$\begin{align*} \psi\left(1\right)=-\gamma \quad \quad \psi\left(\frac{3}{2}\right)&=\psi\left(\frac{1}{2}\right)+2\\ &=2-\gamma-2\ln2\\ \end{align*}$$

故

$$\begin{align*} F'\left(1\right)&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cdot \ln\sin x\, \mathrm{d}x\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}\cdot \left(2\ln2-2\right)\\ &=\ln2-1 \end{align*}$$

即

$$I = \frac{1}{\pi} \left( 1 + \ln \frac{\pi}{2} \right)$$