$\mathrm{Dirichlet}$ 核

在区间 $\left(0,\pi\right)$ 上定义一族函数 $D_n\left(x\right)=\displaystyle \frac{\sin {\frac{2n+1}{2}x}}{2\sin {\frac{x}{2}}},n\in\mathbb{N}^+$，我们称 $D_n$ 为 $\mathrm{Dirichlet}$ 核

我们对 $D_n$ 进行化简，由积化和差得

$\begin{align*} 2\sin\frac{t}{2}\cos kt &= \sin\left( \frac{t}{2} + kt \right) - \sin\left( kt - \frac{t}{2} \right)\\ \sum_{k=1}^{n} 2\sin\frac{t}{2}\cos kt &= \sum_{k=1}^{n} \left[ \sin\left( kt + \frac{t}{2} \right) - \sin\left( kt - \frac{t}{2} \right) \right]\\ &= \sin\left( nt + \frac{t}{2} \right) - \sin\frac{t}{2}\\ \Rightarrow \sin\left( nt + \frac{t}{2} \right) &= \sin\frac{t}{2} + \sum_{k=1}^{n} 2\sin\frac{t}{2}\cos kt \end{align*}$

故

$\frac{\sin\left( nt + \frac{t}{2} \right)}{2\sin\frac{t}{2}} = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos kt \quad (\sin\frac{t}{2} \neq 0)$

$\mathrm{Dirichlet}$ 积分

虽然 $D_n(x)$ 在 $x = 0$ 时无定义，但容易证明 $ \displaystyle \lim_{x \to 0_+} D_n(x) = \frac{2n + 1}{2}$，因此 $D_n(x)$ 在 $[0, \pi] $ 上可积

下面我们先对 $D_n(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上积分

法一

直接利用上述化简式

$\begin{align*} \int_{0}^{\pi}D_n\left(x\right)\, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos kx \right)\, \mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi}{2}+\sum_{k=1}^n\int_{0}^{\pi}\cos kx\, \mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi}{2} \end{align*}$

法二

我们记 $I_n$ 为 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}D_n\left(x\right)\, \mathrm{d}x$

易知

$I_0=\int_{0}^{\pi}D_0\left(x\right)\, \mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}$

且

$\begin{align*} I_n-I_{n-1}&=\int_{0}^{\pi}D_n\left(x\right)\, \mathrm{d}x-\int_{0}^{\pi}D_{n-1}\left(x\right)\, \mathrm{d}x\\ &= \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\frac{2n+1}{2}x - \sin\frac{2n-1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}} dx\\ &=\int_{0}^{\pi} \frac{2\cos(nx)\sin\left( \frac{x}{2} \right)}{2\sin\frac{x}{2}} dx\\ &=\int_{0}^{\pi} \cos(nx) dx \\ &= 0 \end{align*}$

故 $\displaystyle I_n=I_0=\frac{\pi}{2}$

习惯上将此积分改写成下面这种形式，结构更简单

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin {\left(2n+1\right)x}}{\sin x}\, \mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}$

下面用 $D_n\left(x\right)$ 的积分求解 $\boldsymbol{\mathrm{Dirichlet}}$ 积分

$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\, \mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}$

考虑将其 $D_n$ 分母换为 $x$ 所产生的影响。由 $\mathrm{L’Hospital}$ 法则，有

$f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2\sin\frac{x}{2}} = O(x) \quad (x \to 0)$

因此 $f$ 在 $[0, \pi]$ 上 $\mathrm{Riemann}$ 可积。由 $\mathrm{Riemann-Lebesgue}$ 定理，有

$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin\left( n + \frac{1}{2} \right) x \, \mathrm{d}x = 0$

即

$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left( n + \frac{1}{2} \right) x}{x} \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left( n + \frac{1}{2} \right) x}{2\sin\frac{x}{2}} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$

令

$t=\left(n+\frac{1}{2}\right)x$

原式化为

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left( n + \frac{1}{2} \right) x}{x} \mathrm{d}x &= \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi} \frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t\\ &=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi}{2} \end{align*}$

即

$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}$

下面用 $\boldsymbol{\mathrm{Dirichlet}}$ 积分求解几道广义积分题目

例1

计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \mathrm{d}x$

$\begin{align*} \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{+\infty} \sin^2 x \, \mathrm{d}\left( -\frac{1}{x} \right) \\ &= -\left. \frac{\sin^2 x}{x} \right|_{0}^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) \, \mathrm{d}(\sin^2 x) \\ &= -\left. \frac{\sin^2 x}{x} \right|_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin 2x}{x} \, \mathrm{d}x \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin^2 x}{x} - \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin^2 x}{x} + \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin 2x}{x} \, \mathrm{d}x \\ \end{align*}$

由于

$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin 2x}{x} \, \mathrm{d}x \stackrel{t = 2x}{=} \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, \mathrm{d}t = \frac{\pi}{2}$

从而

$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$

例2

计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^4 x}{x^2} \, \mathrm{d}x$

$\begin{align*} \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^4 x}{x^2} \, \mathrm{d}x&=\int_{0}^{+\infty} \frac{\left(\sin^2 x\right)\left(1-\cos^2 x\right)}{x^2} \, \mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{+\infty} \left(\frac{\sin^2 x}{x^2}-\frac{\sin^2 x\cos^2 x}{x^2}\right) \, \mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{+\infty} \left(\frac{\sin^2 x}{x^2}-\frac{\sin^2 2x}{4x^2}\right) \, \mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}\, \mathrm{d}x-\frac{1}{2}\cdot \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 2x}{\left(2x\right)^2}\, \mathrm{d}\left(2x\right)\\ &=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}\\ &=\frac{\pi}{4} \end{align*}$

例3

计算 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\sin \left(e^x\right)\, \mathrm{d}x$

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}\sin \left(e^x\right)\, \mathrm{d}x &\stackrel{u = e^x}{=}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin u}{u}\, \mathrm{d}u\\ &\ \ =\frac{\pi}{2} \end{align*}$