Fejér-Jackson 不等式

当 $x\in\left(0,\pi\right)$ 时，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\sin{kx}>0$

证明：记 $f_n\left(x\right)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\sin{kx}$

$\begin{align*} f_n'(x) &= \sum\limits_{k = 1}^n \cos kx \\ &= \text{Re}\sum\limits_{k = 1}^n (e^{ix})^k \\ &= \text{Re}\left(e^{ix}\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right) \\ &= \frac{\cos\frac{(n + 1)x}{2}\cdot \sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\\ \end{align*}$

于是，$f_n’(x)$的所有零点满足

$\frac{nx}{2} = k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

以及

$\frac{(n + 1)x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

在$(0, \pi)$上, 这些零点从小到大排列为

$0 < \frac{\pi}{n + 1} < \frac{2\pi}{n} < \frac{3\pi}{n + 1} < \frac{4\pi}{n} < \cdots < \frac{2\lfloor n/2 \rfloor\pi}{n} \leq \pi.$

在$\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{n + 1}\right)$上, $f_n’(x) > 0$，于是，从 $0$ 开始往$x$轴正方向，每经过一个零点， $f_n’(x)$的符号就变化一次. 从而

$\frac{2\pi}{n}, \frac{4\pi}{n}, \cdots, \frac{2\lfloor n/2 \rfloor\pi}{n}$

是 $f_n(x)$ 的所有极小值点

下面用数学归纳法来证明 $f_n(x) > 0$ 在 $(0, \pi)$ 上成立

(i) 首先当 $n = 1$ 时

$f_1(x) = \sin x$

结论显然成立

(ii) 下面假设 $f_{n - 1}(x) > 0$ 在 $(0, \pi)$ 上成立（其中 $n \geq 2$），注意到，对 $j = 1, 2, \cdots, \lfloor n/2 \rfloor$

$f_n\left( \frac{2j\pi}{n} \right) = f_{n - 1}\left( \frac{2j\pi}{n} \right) + \sin\left( n \cdot \frac{2j\pi}{n} \right) = f_{n - 1}\left( \frac{2j\pi}{n} \right) > 0,$

最后的不等号是因为归纳假设，于是，$f_n(x)$ 在所有极小值点处都大于 0，从而 $f_n(x) > 0$ 在 $(0, \pi)$ 上恒成立

Fejér-Jackson 不等式的推论

[一致有界性] 设 $x \in \mathbb{R}$，则存在与 $x$ 无关的常数 $M > 0$ 使得 $\displaystyle \left| \sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}{k} \right| < M, \, \forall n \in \mathbb{N}^+, \, \forall x$ 其中 $M$ 可取到 $2\sqrt{\pi}$

我们先证明一个引理

引理1：对任意正整数 $\displaystyle \left| \sum_{k = m + 1}^n \sin kx \right| \leq \frac{1}{\left| \sin \frac{x}{2} \right|}$

证明：

$\begin{align*} \sum_{k = m + 1}^n \sin kx &= \frac{1}{2\sin \frac{x}{2}} \sum_{k = m + 1}^n \left[ \cos \left( k + \frac{1}{2} \right)x - \cos \left( k - \frac{1}{2} \right)x \right] \\ &= \frac{\cos \left( m + \frac{1}{2} \right)x - \cos \left( n + \frac{1}{2} \right)x}{2\sin \frac{x}{2}}\\ \Rightarrow &\left| \sum_{k = m + 1}^n \sin kx \right| \leq \frac{1}{\left| \sin \frac{x}{2} \right|} \end{align*}$

下面开始证明原问题

证明：由三角函数周期性，只需考虑 $(-\pi, \pi)$ 区间；又因 $\sin kx$ 是奇函数，只需分析 $(0, \pi)$（另一半区间取相反数即可）

若 $\displaystyle n\leq \frac{\sqrt{\pi}}{x}$，显然有

$\left| \sum_{k = 1}^n \frac{\sin kx}{k} \right| \leq \sum_{k = 1}^n \frac{kx}{k} = nx\leq \sqrt{\pi}<2\sqrt{\pi}$

若 $\displaystyle n > \frac{\sqrt{\pi}}{x}$，取正整数 $m$ 满足

$mx<\sqrt{\pi}<\left(m+1\right)x$

则 $m

下面我们将原式拆成两个部分，记

$\sum_{k = 1}^n \frac{\sin kx}{k} = A + B$

其中 $A$ 为前 $m$ 项和，$B$ 为后 $n - m$ 项和

$A$ 部分的和

$\left| \sum_{k = 1}^m \frac{\sin kx}{k} \right| \leq \sum_{k = 1}^m \frac{kx}{k} = mx$

现在处理 $B$ 部分，记

$T_p = \sum_{k = m + 1}^n \sin kx$

其中

$\begin{align*} R &= \max\{ |T_m|, |T_{m + 1}|, \cdots, |T_n| \}\\ r &= \min\{ |T_m|, |T_{m + 1}|, \cdots, |T_n| \} \end{align*}$

由 Abel 不等式可知：若 $a_k$ 单调，$\displaystyle \left|\sum_{k = m + 1}^n b_k\right|\leq M$

则有

$\left| \sum_{k = m + 1}^n a_k b_k \right| \leq a_{m + 1} M$

（此处 $\displaystyle a_k = \frac{1}{k}$ 单调递减）

即

$\frac{1}{m + 1} r \leq \left| \sum_{k = m + 1}^n \frac{\sin kx}{k} \right| \leq \frac{1}{m + 1} R$

由引理1可知

$\left| \sum_{k = m + 1}^n \sin kx \right| \leq \frac{1}{\left| \sin \frac{x}{2} \right|} \leq \frac{\pi}{|x|}$

故

$R = \frac{\pi}{|x|}\ \quad r = \frac{\pi}{|x|}$

因此

$\left| \sum_{k = m + 1}^n \frac{\sin kx}{k} \right| \leq \frac{1}{m + 1} \cdot \frac{\pi}{|x|}$

整体

$\left| \sum_{k = 1}^n \frac{\sin kx}{k} \right| < mx+\frac{1}{m + 1} \cdot \frac{\pi}{|x|}$

其中 $m\in\left[0,n\right]$

现在要证明

$mx+\frac{1}{m + 1} \cdot \frac{\pi}{x} < 2\sqrt{\pi}$

令

$t=\frac{\sqrt{\pi}}{x}$

有

$\frac{m}{t}+\frac{t}{m+1}-2<0$ $f(t) = t^2 - 2t\left(m+1\right) + m\left(m+1\right) < 0$

得

$m +1- \sqrt{m+1}< \frac{\sqrt{\pi}}{x} < m + 1+\sqrt{m+1}$

由于

$\begin{align*} m&<\frac{\sqrt{\pi}}{x}<m+1\\ m +1- \sqrt{m+1}<m&<m+1< m + 1+\sqrt{m+1} \end{align*}$

在此范围内，$f\left(t\right)<0$ 恒成立，即

$mx+\frac{1}{m + 1} \cdot \frac{\pi}{x} < 2\sqrt{\pi}$

恒成立，综上

$\left| \sum_{k = 1}^n \frac{\sin kx}{k} \right| < mx+\frac{1}{m + 1} \cdot \frac{\pi}{x}<2\sqrt{\pi}$

此外，这里的上下界有更强的估计，以后有时间再写一篇证明

$x\left(1-\frac{x}{\pi}\right)^3<\left| \sum_{k = 1}^n \frac{\sin kx}{k} \right|<\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{x}\, \mathrm{d}x\approx1.8519\cdots \quad\left(x\in\left(0,\pi\right)\right)$