T1

设 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 有定义，且在任意 $[0,a]$ 上可积，$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$

证明：

证：

由于

则对 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，当 $x \geq M$ 时，有

由于 $\displaystyle \left| \int_{0}^{M} \left( f(t) - A \right) \,\mathrm{d}t \right|$ 有界，则有

从而对 $\varepsilon > 0$，$\exists N > M > 0$，当 $x \geq N$ 时，有

则当 $x \geq N$ 时，有

故

T2

设 $f$ 是定义在 $(-\infty, +\infty)$ 上的一个连续周期函数，周期为 $p$

证明：

证：
设 $[0, x)$ 上包含 $n$ 个周期，即 $\displaystyle n = \left[ \frac{x}{p} \right]$

由于 $f(t)$ 周期性，$\displaystyle \int_{0}^{np} f(t)\,\mathrm{d}t = n\int_{0}^{p} f(t)\,\mathrm{d}t$，故：

放缩得：

且

则：

由

可得

根据夹逼定理得

对 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，当 $x > M$ 时：

故当 $x > M$ 时：

即：

此题可以作为结论，引申出许多题目，例如下面这题

T3

求极限：

解：

已知 $|\sin x|$ 为 $[0, +\infty)$ 上的连续周期函数，周期为 $\pi$，则存在 $n \in \mathbb{N}$，使得

则有：

因 $|\sin t|$ 周期为 $\pi$，且

故：

结合 $n\pi \leq x < (n + 1)\pi$，对原式放缩得：

当$x \to +\infty$时，$n \to +\infty$，计算两端极限：

由夹逼定理，得：

T4

若 $f$ 在 $[0,a]$ 上连续可微，且 $f(0) = 0$

证明：

证：

绝对值不太好处理，不妨设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} |f’(t)| \,\mathrm{d}t$

易知：

则原式化为

最后由 Cauchy Schwartz 不等式可得

即

T5

证明：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且处处有 $f(x)>0$，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x > 0$

证：由 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，故 $\exists\ x_0 \in [a,b]$，$f(x)$ 在 $x_0$ 连续且 $f(x_0)>0$

于是 $\exists\ [\alpha, \beta] \subseteq [a,b]$，$s.t. \ f(x) \geq \displaystyle \frac{f(x_0)}{2},\ x \in [\alpha, \beta]$，则有