一维一次元的收敛性与误差估计

一、误差的 $H^1$ 估计

Céa 引理：

$\| u - u_h \|_1 \leq \beta \inf_{v \in V_h} \| u - v \|_1$

应用到有限元空间 $U_h$

对变分问题的真解 $u$ 和有限元近似解 $u_h$，有：

$\| u - u_h \|_1 \leq \beta \inf_{v_h \in U_h} \| u - v_h \|_1$

$|\cdot|_1$ 是 $H^1$ 范数，$\beta$ 是与网格无关的常数

转化为逼近精度：

找 $U_h$ 中对 $u$ 的 “最佳逼近” 函数 $u_I$（如分片线性插值），则误差估计可表为：

$\| u - u_h \|_1 \leq \beta \| u - u_I \|_1$

插值误差分析：

设 $u \in C^2[a,b]$，考察 $|u-u_I|$，有

$\int_{a}^{b} (u' - u_I')^2 \,dx +\int_a^b(u-u_I)^2\,dx$

$u_I(x_i)=u(x_i)$，$u_I(x)$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上是线性函数

$(u-u_I)(x_i)=0$

由 Poincaré 不等式

$\int_{a}^{b} (u - u_I)^2 dx \leq C \int_{a}^{b} (u' - u_I')^2 dx$

故关键是 $\displaystyle \int_{a}^{b} (u’ - u_I’)^2 dx$ 的估计

因 $u_I$ 分段线性，可分段分析

在 $I_i=[x_{i-1},x_i]$ 上，令 $e(x) = u(x) - u_I(x)$ ，则

$e(x_{i-1})=e(x_i)=0$

由 Rolle 定理，$\exists \xi \in I_i,\,s.t.\, e’(\xi)=0$

从而

$e'(x) = \int_\xi^x e''(t) dt = \int_\xi^x u''(t) dt, \ x \in I_i$ $\vert e'(x) \vert \leq \left( \int_\xi^x \vert u''(t) \vert^2 dt \right)^\frac{1}{2} \cdot \left( \int_\xi^x 1^2 dx \right)^\frac{1}{2} \leq \sqrt{h_i} \left( \int_{x_{i-1}}^{x_i} \vert u''(t) \vert^2 dt \right)^\frac{1}{2}$ $\int_{x_{i - 1}}^{x_i} |e'(x)|^2 dx \leq h_i^2 \int_{x_{i - 1}}^{x_i} |u''(t)|^2 dt$ $\int_a^b (u - u_I)^2 dx \leq \sum_{i = 1}^n \int_{x_{i - 1}}^{x_i} |e'(x)|^2 dx \leq h^2 \int_a^b |u''(x)|^2 dt$

因而由 Poincaré 不等式

$\| u - u_h \|_1 \leq C \| u - u_I \|_1 \leq C \cdot h \| u'' \|_{L^2} \quad (H^1 \text{模估计，} O(h))$

二、误差的 $L^2$ 估计

$| u - u_h |_{L^2}^2$ 相关变分问题：

$\begin{cases} -z'' = u - u_h \\ z(a) = 0 \\ z(b) = 0 \end{cases}$

对应变分等式

$\int_a^b z' v' \,dx = \int_a^b (u - u_h) v \,dx \quad \forall v \in H_E^1, \,v(a) = 0$

取 $v = u - u_h$ ，有

$\int_a^b z' (u - u_h)' \,dx = \int_a^b (u - u_h)^2 \,dx$

若用

$\begin{align} \| u - u_h \|_{L^2}^2 &\leq C \| z \|_1\, \| u - u_h \|_1\\ &\leq C \| z \|_1 \,\| u' \|_1 \end{align}$

注意到

$\int_a^b z' (u-u_h)' \,dx = \int_a^b (z' - v_h) (u'-u_h') \,dx \quad \forall v \in H_E^1$

选取 $v_h$ 为 $z$ 的分片线性插值函数，则

$\begin{align} \|u-u_h\|^2 &\leq C\| z-v_h \|_1\, \| u - u_h \|_1\\ &\leq C\cdot h\cdot \| z'' \|_1\,\cdot h\cdot \| u'' \|\\ &\leq Ch^2\| u - u_h \|\cdot \| u'' \| \end{align}$

故

$\|u-u_h\|^2 \leq Ch^2\|u''\| \rightarrow O(h^2)$

误差模总结

$H^1$ 模误差：$\sim O(h)$

$L^2$ 模误差：$\sim O(h^2)$

一维二次元

对于微分方程（非齐次边界）：

$\begin{cases} -u'' + u = f, & a < x < b \\ u(a) = \alpha, \ u'(b) = \beta \end{cases}$

变分形式（虚功原理）：

找 $u \in H_\alpha^1(a,b)$（$u(a)=\alpha$ 的 Sobolev 空间），使

$\int_{a}^{b} u'v' dx - \beta v(b) + \int_{a}^{b} uv dx = \int_{a}^{b} fv dx$

对任意 $v \in H_E^1(a,b)$（$v(a)=0$ 的 Sobolev 空间）成立

Galerkin 离散（二次元）

有限元空间 $U_h$：

取 $U_h$ 为分片二次多项式空间，节点包含单元端点 $x_{i-1}, x_i$ 与中点 $x_{i-\frac{1}{2}}$ ，满足 $u_h(a)=\alpha$

离散方程：

找 $u_h \in U_h$ 使

$\int_{a}^{b} u_h'v_h' dx + \int_{a}^{b} u_h v_h dx - \int_{a}^{b} f v_h dx - \beta v_h(b) = 0$

对任意 $v_h \in U_h$（$v_h(a)=0$ ）成立，代入二次基函数展开得线性方程组

二次基函数构造（Lagrange 插值）

在单元 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，取节点 $x_{i-1}, x_{i-\frac{1}{2}}, x_i$ ，构造二次 Lagrange 基函数 $y_1, y_2, y_3$ ，满足：

$y_j(x_{i-k}) = \delta_{jk} \quad (j,k=1,2,3)$

通过标准化（$\displaystyle \xi = \frac{x - x_{i-1}}{h}$，$h = x_i - x_{i-1}$ ），基函数可表示为：

$\begin{cases} N_0(\xi) = 2\left(\xi - \frac{1}{2}\right)(\xi - 1) \\ N_{\frac{1}{2}}(\xi) = -4\xi\left(\xi - 1\right) \\ N_1(\xi) = 2\xi\left(\xi - \frac{1}{2}\right) \end{cases}$

在参考单元 $[0,1]$ 上，分别对应节点 $0, \frac{1}{2}, 1$ 的基函数

在 $x\in[x_{i-1},x_i]$ 时

$u_h(x)=u_{i-1}N_0(\xi)+u_{i-\frac{1}{2}}N_{\frac{1}{2}}(\xi)+u_iN_1(\xi)$ $u_h(x) = \begin{cases} u_0 N_0^1(\xi) + u_{\frac{1}{2}} N_{\frac{1}{2}}^1(\xi) + u_1 N_1^1(\xi), & [x_0, x_1] \\ u_1 N_1^2(\xi) + u_{\frac{3}{2}} N_{\frac{3}{2}}^2(\xi) + u_2 N_2^2(\xi), & [x_1, x_2] \\ \quad \quad \vdots \\ u_{n-1} N_{n-1}^n(\xi) + u_{n-\frac{1}{2}} N_{n-\frac{1}{2}}^n(\xi) + u_n N_n^n(\xi), & [x_{n-1}, x_n] \end{cases}$

$U_h$ 的基函数

$\varphi_i(x) = \begin{cases} N_i^i(\xi), & [x_{i-1}, x_i] \\ N_i^{i+1}(\xi), & [x_i, x_{i+1}] \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ $\varphi_0(x) = \begin{cases} N_0^1(\xi), & [x_0, x_1] \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ $\varphi_{i+\frac{1}{2}}(x) = \begin{cases} N_{\frac{1}{2}}^{i+1}(\xi), & [x_i, x_{i+1}] \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ $u_h(x) = \sum_{i=0}^{n-1} \left[ u_i \varphi_i + u_{i+\frac{1}{2}} \varphi_{i+\frac{1}{2}} \right] + u_n \varphi_n \quad \quad(2n+1维)$ $v_h(x) = \sum_{i=0}^{n-1} \left[ v_i \varphi_i + v_{i+\frac{1}{2}} \varphi_{i+\frac{1}{2}} \right] + v_n \varphi_n$

变分方程离散形式

$\int_a^b u_h' v_h' dx + \int_a^b u_h v_h dx - \int_a^b f v_h dx - \beta v_h(b) = 0$

在 $ [x_{i-1}, x_i] $ 上

$u_h = u_{i-1} N_0(\xi) + u_{i-\frac{1}{2}} N_{\frac{1}{2}}(\xi) + u_i N_1(\xi)$

其中 $\displaystyle \xi = \frac{x - x_{i-1}}{h_i} $（$ h_i = x_i - x_{i-1} $ 为单元长度）

单元 $[x_{i−1},x_i]$ 上的导数计算

$\begin{align} \frac{du_h}{dx} &= \left( u_{i-1} \frac{dN_0}{d\xi} + u_{i-\frac{1}{2}} \frac{dN_{\frac{1}{2}}}{d\xi} + u_i \frac{dN_1}{d\xi} \right) \cdot \frac{d\xi}{dx} \\ &= \frac{1}{h_i} \left( u_{i-1} \frac{dN_0}{d\xi} + \cdots \right) \end{align}$

同理，$\displaystyle \frac{dv_h}{dx} $ 有类似形式，进而单元积分（以 $ \displaystyle \int_{I_i} u_h’ v_h’ dx $ 为例）：

$\int_{I_i} u_h' v_h' dx = \int_{I_i} \left( u_{i-1} \frac{dN_0}{d\xi} + \cdots \right) \left( v_{i-1} \frac{dN_0}{d\xi} + \cdots \right) \frac{1}{h_i} dx$

变量替换 $ x = x_{i-1} + h_i \xi $（$ \xi \in [0,1] $ ）后：

$\begin{align} \int_{I_i} u_h' v_h' dx &= \int_0^1 \left( u_{i-1} \frac{dN_0}{d\xi} + \cdots \right) \left( v_{i-1} \frac{dN_0}{d\xi} + \cdots \right) \frac{1}{h_i} \cdot h_i d\xi\\ & =(v_{i - 1}, v_{i - \frac{1}{2}}, v_i) \begin{bmatrix} \displaystyle \int_0^1 N_0'(\xi) N_0'(\xi) d\xi &\displaystyle \int_0^1 N_0'(\xi) N_{\frac{1}{2}}'(\xi) d\xi & \displaystyle \int_0^1 N_0'(\xi) N_1'(\xi) d\xi \\ \displaystyle \int_0^1 N_{\frac{1}{2}}'(\xi) N_0'(\xi) d\xi & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} \frac{1}{h_i} \begin{bmatrix} u_{i - 1} \\ u_{i - \frac{1}{2}} \\ u_i \end{bmatrix}\\ & =(v_0, v_{\frac{1}{2}}, v_1, \cdots, v_n) \begin{bmatrix} \ddots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \cdots & \times & \times & \times & \cdots \\ \cdots & \times & \times & \times & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_0 \\ u_{\frac{1}{2}} \\ u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} \\ &= V^T K^{(i)} U \end{align}$

单元刚度矩阵 $ k_e $

$k_e = \begin{bmatrix} \displaystyle \int_0^1 N_0'(\xi) N_0'(\xi) d\xi & \cdots & \cdots \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \cdots & \cdots &\displaystyle \int_0^1 N_m'(\xi) N_m'(\xi) d\xi \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{h_i} \quad$

整体刚度矩阵组装

$\int_a^b u_h' v_h' dx = V^T \sum_{i=1}^n K^{(i)} U = V^T K U$

一维三次元

在单元 $ [x_{i-1}, x_i] $ 上用 Hermite 插值构造三次多项式 $ u_h(x) $，满足 函数值 + 导数值插值条件

$\begin{align} u_h(x_{i-1}) &= u_{i-1}, \quad u_h'(x_{i-1}) = u_{i-1}'; \\ u_h(x_i) &= u_i, \quad \quad u_h'(x_i) = u_i' \end{align}$ $u_h(x) = u_{i-1} \varphi_0(x) + u_{i-1}' \varphi_1(x) + u_i \varphi_2(x) + u_i' \varphi_3(x)$

基函数条件（以 $ \varphi_0 $ 为例，其余类似）：

$\begin{cases} \varphi_0(x_{i-1}) = 1, & \varphi_0(x_i) = 0 \\ \varphi_0'(x_{i-1}) = 0, & \varphi_0'(x_i) = 0 \end{cases}$

标准化

令 $\displaystyle \xi = \frac{x - x_{i-1}}{h_i} $（$ h_i = x_i - x_{i-1} $ ），基函数转化为标准区间 $ \xi \in [0,1] $ 的 Hermite 基 $ N_0(\xi), N_1(\xi), N_2(\xi), N_3(\xi) $，满足：

$\begin{cases} N_0(0)=1, \, N_0(1)=0, \, N_0'(0)=0, \, N_0'(1)=0 \\ N_1(0)=0, \, N_1(1)=0, \, N_1'(0)=1, \, N_1'(1)=0 \\ N_2(0)=0, \, N_2(1)=1, \, N_2'(0)=0, \, N_2'(1)=0 \\ N_3(0)=0, \, N_3(1)=0, \, N_3'(0)=0, \, N_3'(1)=1 \end{cases}$ $u_h(x) = u_{i-1} N_0(\xi) + u_{i-1}' N_1(\xi) \cdot h_i + u_i N_2(\xi) + u_i' N_3(\xi) \cdot h_i$

对 $ x $ 求导（利用 $\displaystyle \frac{d\xi}{dx} = \frac{1}{h_i} $ ）：

$\frac{du_h}{dx} = \left( u_{i-1} \frac{dN_0}{d\xi} + u_{i-1}' \frac{dN_1}{d\xi} + u_i \frac{dN_2}{d\xi} + u_i' \frac{dN_3}{d\xi} \right) \cdot \frac{1}{h_i}$

在 $ x = x_{i-1} $（即 $ \xi = 0 $ ）处：

$\frac{du_h}{dx}(x_{i-1}) = \left( u_{i-1} N_0'(0) + u_{i-1}' N_1'(0) + u_i N_2'(0) + u_i' N_3'(0) \right) \cdot \frac{1}{h_i} = u_{i-1}'$

因 $ N_0’(0)=0, N_2’(0)=0, N_3’(0)=0 $，仅 $ N_1’(0)=1 $ 保留

基函数表达式

标准区间 $ \xi \in [0,1] $ 上的 Hermite 基：

$\begin{align*} N_0(\xi) &= (1 - \xi)^2(2\xi + 1) \\ N_1(\xi) &= \xi(1 - \xi)^2 \\ N_2(\xi) &= \xi^2(-2\xi + 3) \\ N_3(\xi) &= \xi^2(\xi - 1) \end{align*}$

单元插值函数

在单元 $ [x_{i-1}, x_i] $ 上，三次插值函数 $ u_h(x) $ 满足函数值 + 导数值插值，形式为：

$u_h(x) = u_{i-1}N_0(\xi) + u_{i-1}' h_i N_1(\xi) + u_i N_2(\xi) + u_i' h_i N_3(\xi)$ $u_h(x) = \begin{cases} u_0 N_0^1(\xi) + u_{0}' h_1 N_{1}^1(\xi) + u_1 N_2^1(\xi) +u_1' h_1 N_3^1(\xi), & [x_0, x_1] \\ u_1 N_0^2(\xi) + u_{1}' h_2 N_{1}^2(\xi) + u_2 N_2^2(\xi) +u_2' h_2 N_3^2(\xi), & [x_1, x_2] \\ \quad \quad \vdots \\ u_{n-1} N_{0}^n(\xi) + u_{n-1}' h_n N_{1}^n(\xi) + u_n N_2^n(\xi) + u_n' h_n N_3^n(\xi), & [x_{n-1}, x_n] \end{cases}$

整体基函数定义

函数值基 $ \varphi_i^{(0)}(x) $：

$\varphi_i^{(0)}(x) = \begin{cases} N_2\left( \frac{x - x_{i-1}}{h_i} \right), & [x_{i-1}, x_i] \\ N_0\left( \frac{x - x_i}{h_{i+1}} \right), & [x_i, x_{i+1}] \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

导数值基 $ \varphi_i^{(1)}(x) $：

$\varphi_i^{(1)}(x) = \begin{cases} h_i N_3\left( \frac{x - x_{i-1}}{h_i} \right), & [x_{i-1}, x_i] \\ h_{i+1} N_1\left( \frac{x - x_i}{h_{i+1}} \right), & [x_i, x_{i+1}] \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

基函数支集特性

边界基 $ \varphi_0^{(0)},\varphi_0^{(1)},\varphi_n^{(0)},\varphi_n^{(1)} $ 的支集（非零区间）仅含一个子区间，内部基支集含两个子区间

空间与基函数

若把 $ u’(a)=u_0 ,\,u’(b)=u_n’$ 当作未知量，有限元空间 $ U_h $ 维数 $ 2n + 2 $，基函数为 $ \varphi_i^{(0)}(x) $（函数值基）、$ \varphi_i^{(1)}(x) $（导数值基），展开式

$u_h(x) = \sum_{i=0}^n [u_i \varphi_i^{(0)} + u_i' \varphi_i^{(1)}]$

Galerkin 方法离散

变分方程（含 $ u_h(a)=\alpha $ 边界条件）：

$\int_a^b u_h' v_h' dx + \int_a^b u_h v_h dx - \int_a^b f v_h dx - \beta v_h(b) = 0, \quad \forall v_h \in U_h, v_h(a)=0$

单元导数变换（$ x \in [x_{i-1}, x_i] $ ）

局部坐标 $\displaystyle \xi = \frac{x - x_{i-1}}{h_i} $（$ h_i = x_i - x_{i-1} $ ），则：

$\frac{du_h}{dx} = \frac{du_h}{d\xi} \cdot \frac{d\xi}{dx} = \frac{1}{h_i} \left( u_{i-1} N_0'(\xi) + u_{i-1}' h_i N_1'(\xi) + u_i N_2'(\xi) + u_i' h_i N_3'(\xi) \right)$

同理，$\displaystyle \frac{dv_h}{dx} $ 有对称形式

单元积分与刚度矩阵

单元 $ [x_{i-1}, x_i] $ 上的导数积分（以 $ \displaystyle \int_{I_i} u_h’ v_h’ dx $ 为例）：

$\int_{I_i} u_h' v_h' dx = \int_0^1 \left( u_{i-1} N_0'(\xi) + \cdots \right) \left( v_{i-1} N_0'(\xi) + \cdots \right) \frac{1}{h_i} \cdot h_i d\xi$

对应单元刚度矩阵 $ K_e $ 与向量内积形式：

$\int_{I_i} u_h' v_h' dx = (v_{i-1}, v_{i-1}', v_i, v_i') K_e \begin{bmatrix} u_{i-1} \\ u_{i-1}' \\ u_i \\ u_i' \end{bmatrix}$

单元刚度矩阵

$K_e = \begin{bmatrix} \displaystyle \int_0^1 N_0'(\xi) N_0'(\xi) d\xi &\displaystyle \int_0^1 N_0'(\xi) N_1'(\xi) d\xi & \times & \times \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \times & \times & \times & \times \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{h_i}$

单元质量矩阵与内积

$\int_{I_i} u_h v_h dx = (v_{i-1}, \cdots, v_i') M_e \begin{bmatrix} u_{i-1} \\ \vdots \\ u_i' \end{bmatrix}$

单元载荷积分与近似

$\int_{I_i} f v_h dx = \int_0^1 f(x_{i-1} + h_i \xi) \left( v_{i-1} N_0(\xi) + \cdots + v_i' N_3(\xi) \right) h_i d\xi$

数值积分近似：

$\begin{align} \int_{I_i} f v_h dx &\approx (v_{i-1}, \cdots, v_i') \begin{bmatrix} \frac{1}{6}f(x_{i-1}) + \frac{2}{3}f(x_{i-\frac{1}{2}} ) N_0\left(\frac{1}{2}\right) \\ \vdots \\ \frac{2}{3}f(x_{i-1} )N_3\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}f(x_i) N_3(1) h_i \end{bmatrix}\\ &=(v_{i-1}, \cdots, v_i') F_e \end{align}$

整体离散系统

最终组装得代数方程：

$V^T A U = V^T F + V^T \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ \beta \\0 \end{bmatrix}, \quad A = K + M$

$ K $ 整体刚度矩阵，$ M $ 整体质量矩阵，$ F $ 整体载荷向量

边界条件与代数系统

已知 $ u(a) = u_0 = \alpha $，约束 $ v_0 = 0, v_0’ = 0 $，整体系统降维：

$A(2:\text{end}, 2:\text{end}) \, U(2:\text{end}) = F(2:\text{end}) - A(2:\text{end}, 1) \, \alpha+\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ \beta \\0 \end{bmatrix}$

$ U = (u_0, u_0’, \cdots, u_n, u_n’) $ 为未知向量

误差阶

一次有限元：$ | u - u_h |_1 = O(h) $
二次有限元：$ | u - u_h |_1 = O(h^2) $
三次 Hermite 有限元：$ | u - u_h |_1 = O(h^3) $

误差阶拟合

设误差 $ | e_h | \approx c h^\alpha $，取对数：

$\log \| e_h \| \approx \alpha \log h + \log c$

用多组 $ (h_i, | e_{h_i} |) $ 拟合 $ (\log h_i, \log | e_{h_i} |) $，线性回归 $ y = rx $