有限元方法

一、有限元基本步骤

1、变分形式：将微分方程（强形式）转化为变分问题（弱形式，如极小位能原理 ）

2、区域剖分：将求解区间 / 区域划分为有限个子单元（如线段剖分为小区间 $Ii = [x{i-1}, x_i]$ ）

3、构造有限维子空间：在剖分单元上定义基函数（如分片线性函数 ），构建解空间 $U_h$

4、形成有限元方程：将变分问题离散化，得到线性方程组（刚度矩阵 + 载荷向量 ）

5、求解有限元方程：数值求解线性方程组，得到近似解

ODE 边值问题示例（Dirichlet 边界）

微分方程（强形式）：

变分形式（极小位能原理）：

找 $u \in H_E^1 = \left\{ u \in H^1(a,b) \mid u(a)=0 \right\}$ 使总位能

极小化

有限元离散（Ritz 法）：

区域剖分：将 $[a,b]$ 划分为 $n$ 个单元 $I_i = [x_{i-1}, x_i]$ ，步长 $h_i = x_i - x_{i-1}$，最大步长 $h = \max h_i$

子空间 $U_h$：取 $U_h \subset H_E^1$ ，由分片线性基函数（在每个单元上线性，节点处满足边界条件 ）张成

一、基函数与插值思想

有限元解 $u_h$ 是 $n$ 维子空间的函数，通过节点插值构造基函数：

区域剖分后，在单元 $I_i = [x_{i-1}, x_i]$ 上，用节点值 $u_{i-1}, u_i$ 定义分片线性插值函数。

二、分段 Lagrange 插值（单元层次）

对单元 $I_i = [x_{i-1}, x_i]$（步长 $h_i = x_i - x_{i-1}$ ），插值函数为：

标准化：引入参考单元 $[0,1]$，令 $\displaystyle \xi = \frac{x - x_{i-1}}{h_i}$，则插值函数简化为：

对应基函数 $N_0(\xi) = 1 - \xi$，$N_1(\xi) = \xi$（单元上的 Lagrange 基 ）

三、整体基函数（全域拼接）

将单元基函数拼接成全域基函数 $y_i(x)$，满足：

在节点 $x_j$ 处，$y_i(x_j) = \delta_{ij}$（Kronecker delta，仅在第 $i$ 个节点取 1，其余为 0 ）

全域解表示为

其中 $u_i$ 是节点 $x_i$ 处的函数值

基函数 $y_i(x)$ 是分片线性的 “帽状函数”：

在单元 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，$\displaystyle y_i(x) = \frac{x - x_{i-1}}{h_i}$；

在单元 $[x_i, x_{i+1}]$ 上，$\displaystyle y_i(x) = \frac{x_{i+1} - x}{h_{i+1}}$；

仅在节点 $x_i$ 附近非零，满足 $y_i(x_j) = \delta_{ij}$（Kronecker delta ）

四、能量泛函离散（以 $J(u_h)$ 为例）

总位能泛函 $J(u_h)$ 分解为：

导数计算：
在单元 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，$u_h = u_{i-1} N_0^i(\xi) + u_i N_1^i(\xi)$（$\xi$ 是参考坐标 ），求导得：

积分离散：

对 $\displaystyle \int_{a}^{b} (u_h’)^2 dx$ 分片积分，得：

同理处理 $u_h^2$ 和 $f u_h$ 的积分，最终将 $J(u_h)$ 转化为节点值 $u_i$ 的二次函数

五、梯度与刚度矩阵

对 $J(u_h)$ 关于 $u_j$ 求偏导并令其为 0，得到梯度 $\nabla J(u_h) = K \mathbf{u} - \mathbf{f}$ ，其中

$K$ 是刚度矩阵（由基函数导数的积分确定，对称正定 ）；

$\mathbf{u} = (u_1, \dots, u_n)^T$ 是节点值向量；

$\mathbf{f}$ 是载荷向量（由 $f$ 与基函数的积分确定 ）

六、有限元方程构建（能量泛函离散）

对边值问题 $-u’’ + u = f$（$u(a)=0, u(b)=0$ ），总位能泛函 $J(u_h)$ 分解为：

刚度项 $K(u_h)$：由 $u_h’$ 的积分导出，对应矩阵 $K$（刚度矩阵 ）

质量项 $M(u_h)$：由 $u_h^2$ 的积分导出，对应矩阵 $M$（质量矩阵 ）

载荷项 $F(u_h)$ ：由 $f u_h$ 的积分导出，对应向量 $B$（载荷向量 ）

得有限元方程：

七、与有限差分方法（FDM）对比

对同一 ODE 边值问题，FDM 直接离散微分算子：

$h$ 是步长，$u_j$ 是节点 $x_j$ 处的近似值

用 FEM ：

FEM 与 FDM 的核心差异

FEM：通过能量泛函离散（基函数 + 分片积分 ），自然引入刚度矩阵 $K$ 和质量矩阵 $M$，适用于复杂几何与边界条件，精度依赖基函数（如分片线性 ）

FDM：直接离散微分方程，形式简洁但对复杂域适配性差，精度依赖差分格式（如二阶中心差分 ）

八、单元矩阵构造（分片线性基函数）

对 ODE 边值问题的有限元离散，在单元 $I_i = [x_{i-1}, x_i]$ 上，利用分片线性基函数，将能量泛函的积分分解为单元层次的矩阵运算：

单元刚度矩阵 $K^{(i)}$：

由导数项 $\displaystyle \int_{I_i} (u_h’)^2 dx$ 推导，通过节点值 $u_{i-1}, u_i$ 的二次型表示：

$\mathbf{U} = (u_0, \dots, u_n)^T$ 是全域节点向量，$K^{(i)}$ 是 $2 \times 2$ 单元刚度矩阵

单元质量矩阵 $M^{(i)}$：

由函数项 $\displaystyle \int_{I_i} u_h^2 dx$ 推导，同理表示为：

$M^{(i)}$ 是 $2 \times 2$ 单元质量矩阵

单元载荷向量 $b^{(i)}$：

由载荷项 $\displaystyle \int_{I_i} f u_h dx$ 推导，表示为：

九、全域矩阵组装

刚度与质量矩阵：

单元刚度矩阵 $K^{(i)}$ 和质量矩阵 $M^{(i)}$ 组装为全域矩阵 $K$（$(n+1) \times (n+1)$ 稀疏矩阵，通常为三对角 ）和 $M$（同理稀疏 ），满足：

总能量泛函：

全域能量泛函表示为：

$\displaystyle B = \sum_{i=1}^n b^{(i)}$ 是全域载荷向量

本质边界条件处理（Dirichlet 边界）

对边界条件 $u_0 = 0$ 或 $u_0 = \alpha$（$u_0$ 是边界节点值 ），通过约束能量泛函实现：

代入边界值：

将 $u_0$ 固定为已知值（0 或 $\alpha$ ），剩余节点变量 $u_1, \dots, u_n$ 作为未知量，修改能量泛函的梯度方程（KKT 条件 ），得到降维后的线性方程组

矩阵修正：

若 $u_0 = 0$，直接从刚度矩阵 $K$、质量矩阵 $M$ 和载荷向量 $B$ 中移除对应行和列；若 $u_0 = \alpha$，则修正载荷向量 $B$（减去 $K$ 或 $M$ 中对应列与 $\alpha$ 的乘积 ），保证边界条件满足

十、有限元实现流程

实际计算中，FEM 先构造单元刚度 / 质量矩阵，再通过 “组装” 得到全域矩阵，最终求解 $(K + M)\mathbf{u} = B$ ，体现 “分而治之” 的离散思想

二、有限元 Galerkin 法

一、Galerkin 变分形式（虚功原理）

对边值问题 $-u’’ + u = f$（$u(a)=0, u(b)=0$ ），虚功原理要求：

找 $u \in H_E^1$ 使 $a(u,v) = (f,v)$ 对任意 $v \in H_E^1$ 成立，其中：

二、有限元离散

有限维子空间 $U_h$：

取 $U_h \subset H_E^1$ ，由分片多项式基函数 ${ \varphi_i }$ 张成（如分片线性，$\displaystyle u_h = \sum_{i=1}^n u_i \varphi_i$ ）

离散方程：

找 $u_h \in U_h$ 使 $a(u_h, v_h) = (f, v_h)$ 对任意 $v_h \in U_h$ 成立。代入基函数展开，得线性方程组：

三、单元矩阵组装

通过单元积分→全域组装构造矩阵：

设 $\displaystyle u_h=\sum_{i=0}^n u_i\varphi_i$，$\displaystyle v_h=\sum_{i=0}^n v_i\varphi_i$

同理

于是

边值条件：$u_0=\alpha$，$v_0=0$，$v_1,\cdots,v_n$ 任意