二阶椭圆方程 Dirichlet 边值问题

一、问题设定（Dirichlet 边值问题）

微分方程（强形式）：

$\begin{cases} -\Delta u = f, & G\\ u = \varphi(x,y), & \partial G \end{cases}$

$\Delta$ 是 Laplace 算子，$\varphi \in C^1(\Gamma)$ 是边界函数

二、变分问题（弱形式）推导

经典解与分部积分：若 $u$ 是强形式解（$u \in C^2(\bar{G})$ ），对任意 $v \in C_0^\infty(G)$（紧支光滑函数），利用 Green 公式分部积分得：

$\int_G-\Delta uvdxdy= \int_{G} \nabla u \cdot \nabla v \, dxdy - \int_{G} \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} v \, dxdy = 0$

拓展到变分问题：变分问题（弱形式）要求：对任意 $v \in C_0^\infty(\bar{G})$ 且 $v|_{\partial G}= \varphi$ ，满足

$\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v \, dxdy - \int_{G} f v \, dxdy = 0$

反之，若 $u$ 是变分问题的解，且 $u \in C^2(\bar{G})$，对任意 $v \in C_0^\infty(G)$，对变分方程用格林公式展开得

$\begin{align} &\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v \, dxdy - \int_{G} f v \, dxdy = 0\\ &=\int_G-\Delta uv\,dxdy+- \int_{G} \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} v \, dxdy -\int_G fv\,dxdy\\ &=\int_G (-\Delta u-f)v\,dxdy \end{align}$

则由变分学基本引理有

$-\Delta u-f=0$

又因为变分问题中的 $u$ 满足 $u|_\Gamma$ ，故 $u$ 是原 BVP 的解

三、广义导数与 Sobolev 空间

广义偏导数

变分问题中，$u$ 仅需一阶广义导数（基于 Sobolev 空间 $H^1(G)$ ），通过分部积分定义广义偏导数：

$\int_{G} \frac{\partial}{\partial x}(fv) \, dxdy = \int_{\partial G} fv \cos\alpha \, ds$

$\alpha$ 是边界法向与 $x$ 轴夹角

若 $v|_{\partial \Omega}=0$ ，则有

$\int_{G} \frac{\partial f}{\partial x}v \, dxdy = -\int_{ G} f \frac{\partial v}{\partial x} \, dxdy$

设 $f \in L^2(G)$，若存在 $g \in L^2(G)$，对任意 $v \in C_0^\infty(G)$ 满足：

$\int_{G} g \cdot v \, dxdy = -\int_{G} f \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \, dxdy$

则称 $g$ 是 $f$ 关于 $x$ 的一阶广义偏导数，记为 $f_x = g$ ；关于 $y$ 的广义偏导数 $f_y$ 同理定义

二、Sobolev 空间 $H^1(G)$

定义：$H^1(G) = \left\{ u \mid u, u_x, u_y \in L^2(G) \right\}$（$u_x, u_y$ 是广义偏导数）

内积与范数：

内积：

$(f,g)_1 = \int_{G} \left( fg + f_x g_x + f_y g_y \right) dxdy$

范数：$|u|_1 = \sqrt{(u,u)_1}$

子空间 $H_0^1(G)$：$C_0^\infty(G)$ 在 $H^1(G)$ 中的闭包，对应 “齐次 Dirichlet 边界条件” 的函数空间

三、边值问题的广义解

对椭圆型边值问题（如 Dirichlet 问题），若 $u \in H^1(G)$ 满足 $u|_{\partial G} = \varphi$（边界条件），且对任意 $v \in H_0^1(G)$ 满足变分方程：

$\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v \, dxdy - \int_{G} f v \, dxdy = 0$

则称 $u$ 是边值问题的广义解，放宽了解的光滑性要求（仅需一阶广义导数）

四、自然边界条件（混合边值）

对含自然边界条件的椭圆方程：

$\begin{cases} -\Delta u = f, & G \\ \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} + \alpha u = \varphi, & \partial G \quad (\alpha \geq 0) \end{cases}$

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}$ 是法向导数，若 $u$ 是此方程的解，则对任意 $v \in C^\infty(G)$ ，有

$\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v \, dxdy -\int_{\partial G}\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}v\,ds=\int_G fv\,dxdy$ $\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v \, dxdy + \alpha \int_{\partial G} u v \, ds = \int_{G} f v \, dxdy + \int_{\partial G} \varphi v \, ds \quad (\forall v \in H^1(G))$

$H^1(G)$ 是 Sobolev 空间，$C^\infty(G)$ 在 $H^1(G)$ 中稠密，故 $u$ 是如下变分问题的解

$\begin{cases} \displaystyle \int_{G} \nabla u \cdot \nabla v \, dxdy + \alpha \int_{\partial G} u v \, ds = \int_{G} f v \, dxdy + \int_{\partial G} \varphi v \, ds \quad \forall v \in H^1(G) \\ u \in H^1(G) \end{cases}$

反之，若 $u$ 是变分问题的解，且 $u \in C^2(\bar{G}) $，则对任意 $v \in C^\infty(G)$ ，有

$\int_{G} \Delta u \cdot v \, dxdy -\int_{\partial G}\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}v\,ds +\alpha \int_{\partial G} u v \, dxdy -\int_{\partial G} \varphi v \, ds - \int_G fv\,dxdy=0$

即

$\int_G (-\Delta u-f)v\,dxdy+\int_{\partial G}(\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\alpha u-\varphi)v\,ds=0$

则有

$\int_G (-\Delta u-f)v\,dxdy=0 \quad \quad \forall v \in C^\infty(G)$

由变分法基本引理得

$-\Delta u-f=0$

于是

$\int_{\partial G}(\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\alpha u-\varphi)v\,ds=0\quad \quad \forall v \in C^\infty(G)$

再由 $\varphi$ 的任意性，则有

$\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\alpha u=\varphi$

故 $u$ 是原 BVP 的解

Ritz-Galerkin 方法

边值问题（BVP）统一形式

椭圆型边值问题（含零边界条件）：

$\begin{cases} Lu = f \\ B.C. \end{cases}$

一、两种变分形式（极小位能原理 + 虚功原理）

极小位能原理（Ritz 法）：

找 $u \in U$ 使总位能

$J(u)=\frac{1}{2}a(u,u)-(f,u)$

取得极小

其中：$a(u,v)$ 是双线性形式（对称、正定、有界）

如 $-u’’=f$ 时

$a(u,v)=\int_{a}^{b} u'v' dx$

$-\Delta u=f$ 时

$a(u,v)=\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v dxdy$

有界性：$|a(u,v)| \leq C_1 |u|_1 |v|_1$

正定性：$a(u,u) \geq C_2 |u|_1^2$（由 Poincaré 不等式保证）

虚功原理（Galerkin 法）：找 $u \in U$ 使 $a(u,v)=(f,v)$ 对任意 $v \in U$ 成立，$a(u,v)$ 可不对称、不正定，适用更广

二、有限维逼近思想

用有限维子空间 $U_n \subset U$ 近似无穷维解空间 $U$ ，设 $U_n$ 的基为 ${ \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n }$ ，则近似解 $\displaystyle u_n = \sum_{i=1}^{n} c_i \varphi_i$ ，代入变分形式（极小位能或虚功原理）得到线性方程组，求解系数 $c_i$ ，是有限元方法 “离散化” 的核心步骤

三、Ritz 法（极小位能离散化）

离散近似解：设有限维子空间 $U_n = \text{span}{ \varphi_1, \dots, \varphi_n }$ ，近似解 $\displaystyle u_n = \sum_{i=1}^{n} c_i \varphi_i$

总位能泛函：

$J(u_n)=\frac{1}{2}a(u_n,u_n)-(f,u_n)$

展开为关于 $c_i$ 的二次型：

$\begin{align} J(u_n) &=\frac{1}{2}a(u_n,u_n)-(f,u_n) \\ &= \frac{1}{2}a (\sum_{i=1}^{n}c_i \varphi_i,\sum_{j=1}^{n}c_j \varphi_j)-\sum_{j=1}^{n}(f,\varphi_i)c_j\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n} a(\varphi_i,\varphi_j)c_i c_j - \sum_{j=1}^{n} (f,\varphi_j)c_j \end{align}$

极小值条件：记

$F(c_1,\cdots,c_n)\triangleq J(u_n)=\frac{1}{2}C^TAC-C^T\bar{f}$

令

$\frac{\partial F}{\partial c_j}=0,\quad j=1, \cdots,n$

即 $\nabla F=0$

则

$Ac-\bar{f}=0$

即

$\sum_{i=1}^{n}a(\varphi i,\varphi j)c_i-(f,\varphi_j)=0$

其中：

刚度矩阵 $A = [a(\varphi_i,\varphi_j)]$（对称正定，因 $a(\cdot,\cdot)$ 双线性、正定）；

$A_{ij}=[a(\varphi i,\varphi j)]$

载荷向量 $\bar{f} = [(f,\varphi_j)]$

四、Galerkin 法（虚功原理离散化）

离散方程：找 $\displaystyle u_n = \sum_{i=1}^{n} c_i \varphi_i$ 使 $a(u_n,v)=(f,v)$ 对任意 $v \in U_n$ 成立。

基函数代入：取 $v = \varphi_j$（$j=1,\dots,n$ ），得线性方程组：

$\sum_{i=1}^{n} a(\varphi_i,\varphi_j)c_i = (f,\varphi_j)$

与 Ritz 法导出的 $Ac = \mathbf{f}$ 完全一致，故 Ritz - Galerkin 方法等价

五、误差估计定理

设 $u$ 是变分问题真解，$u_n$ 是 Ritz - Galerkin 近似解，则存在与 $u, u_n$ 无关的常数 $\beta$ ，满足：

$\| u - u_n \|_1 \leq \beta \inf_{v \in U_n} \| u - v \|_1$

$|\cdot|_1$ 是 $H^1$ 范数，体现近似解误差不超过真解到子空间 $U_n$ 的最小距离，刻画离散方法的收敛性

若基函数系 ${ \varphi_i }_{i=1}^\infty$ 在解空间 $U$ 中完全（稠密），则由误差估计式

可得 $u_n \to u$（当 $n \to \infty$ 时，$| u - u_n |_1 \to 0$ ）

推导：对任意 $\varepsilon > 0$，因基函数完全，存在 $\displaystyle v_m = \sum_{i=1}^m d_i \varphi_i \in U_m$ 使

$\| u - v_m \|_1 < \frac{\varepsilon}{\beta}$

当 $n > m$ 时，$U_m \subset U_n$，故

$\inf_{v \in U_n} \| u - v \|_1 \leq \| u - v_m \|_1 < \frac{\varepsilon}{\beta}$

代入误差估计式得 $| u - u_n |_1 < \varepsilon$，即 $u_n$ 依 $H^1$ 范数收敛到 $u$

现证误差估计式 $a(u, v_n) = (f, v_n)$

$\| u - u_n \|_1 \leq \beta \inf_{v \in U_n} \| u - v \|_1$

成立

对原变分问题 $a(u,v)=(f,v)$

Ritz-Galerkin：

$\begin{align} a(u_n,v_n) &=(f,v_n) \quad \forall v \in U_n\\ a(u,v_n) &=(f,v_n)\\ \end{align}$

故 $a(u-u_n, v_n) = 0$, 对 $\forall v_n \in U_n$

由于 $a(u, u)$ 正定：

$\begin{align} \|u-u_n\|_1^2 &\leq \frac{1}{r} a(u-u_n, u-u_n)\\ &= \frac{1}{r} a(u-u_n, u)\\ &= \frac{1}{r} a(u-u_n, u-u_n)\\ &\leq \frac{M}{r} \cdot \|u-u_n\|_1 \cdot \|u-v_n\|_1 \end{align}$ $\Rightarrow \|u-u_n\|_1 \leq \frac{M}{r} \|u-v_n\|_1 \quad \forall v_n \in U_n$

取下确界：

$\|u-u_n\|_1 \leq \beta \cdot \inf_{v \in U_n} \|u-v\|_1$

注：

1、非零边值条件时，变分问题为求 $u \in H_\alpha^1 $ 使得

$\begin{align} \int_a^bu'\varphi'\,dx &=\int_a^bf\varphi\,dx+\beta\varphi(b) \\ a(u,\varphi) &=(f,\varphi)+\beta \varphi(b) \end{align}$

设

$u_n=u_0(x)+\sum_{i=1}^{n}c_i\varphi_i$

其中 $u_0(x)$ 已知，$u_0(a)=\alpha$

Ritz-Galerkin：

$\begin{align} a(u_n,\varphi j) &= (f,\varphi_j)+\beta \varphi_i(b)\\ \sum_{i=1}^{n}a(\varphi_i,\varphi_j)c_i &= (f,\varphi_j)+\beta \varphi_j(b)-a(u_0,\varphi_j) \end{align}$

2、对带一阶导数的微分方程，只能用 Ritz-Galerkin 方法
3、$U_n,\varphi_j$ 的不同选取可导出不同方法