微分方程数值解 第五章（2）

二阶椭圆方程 Dirichlet 边值问题

一、问题设定（Dirichlet 边值问题）

微分方程（强形式）：
$$
\begin{cases}
-\Delta u = f, & G\
u = \varphi(x,y), & \partial G
\end{cases}
$$
$\Delta$ 是 Laplace 算子，$\varphi \in C^1(\Gamma)$ 是边界函数

二、变分问题（弱形式）推导

经典解与分部积分：若 $u$ 是强形式解（$u \in C^2(\bar{G})$ ），对任意 $v \in C_0^\infty(G)$（紧支光滑函数 ），利用 Green 公式分部积分得：
$$
\int_G-\Delta uvdxdy= \int_{G} \nabla u \cdot \nabla v , dxdy - \int_{G} \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} v , dxdy = 0
$$
拓展到变分问题：变分问题（弱形式）要求：对任意 $v \in C_0^\infty(\bar{G})$ 且 $v|_{\partial G}= \varphi$ ，满足
$$
\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v , dxdy - \int_{G} f v , dxdy = 0
$$
反之，若 $u$ 是变分问题的解，且 $u \in C^2(\bar{G})$，对任意 $v \in C_0^\infty(G)$，对变分方程用格林公式展开得
$$
\begin{align}
&\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v , dxdy - \int_{G} f v , dxdy = 0\
&=\int_G-\Delta uv,dxdy± \int_{G} \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} v , dxdy -\int_G fv,dxdy\
&=\int_G (-\Delta u-f)v,dxdy
\end{align}
$$
则由变分学基本引理有
$$
-\Delta u-f=0
$$
又因为变分问题中的 $u$ 满足 $u|_\Gamma$ ，故 $u$ 是原 BVP 的解

三、广义导数与 Sobolev 空间

广义偏导数

变分问题中，$u$ 仅需一阶广义导数（基于 Sobolev 空间 $H^1(G)$ ），通过分部积分定义广义偏导数：
$$
\int_{G} \frac{\partial}{\partial x}(fv) , dxdy = \int_{\partial G} fv \cos\alpha , ds
$$
$\alpha$ 是边界法向与 $x$ 轴夹角

若 $v|{\partial \Omega}=0$ ，则有
$$
\int{G} \frac{\partial f}{\partial x}v , dxdy = -\int_{ G} f \frac{\partial v}{\partial x} , dxdy
$$
设 $f \in L^2(G)$，若存在 $g \in L^2(G)$，对任意 $v \in C_0^\infty(G)$ 满足：
$$
\int_{G} g \cdot v , dxdy = -\int_{G} f \cdot \frac{\partial v}{\partial x} , dxdy
$$

则称 $g$ 是 $f$ 关于 $x$ 的一阶广义偏导数，记为 $f_x = g$ ；关于 $y$ 的广义偏导数 $f_y$ 同理定义

二、Sobolev 空间 $H^1(G)$

定义：$H^1(G) = \left\{ u \mid u, u_x, u_y \in L^2(G) \right\}$（$u_x, u_y$ 是广义偏导数 ）

内积与范数：

内积：
$$
(f,g)1 = \int{G} \left( fg + f_x g_x + f_y g_y \right) dxdy
$$
范数：$|u|_1 = \sqrt{(u,u)_1}$

子空间 $H_0^1(G)$：$C_0^\infty(G)$ 在 $H^1(G)$ 中的闭包，对应 “齐次 Dirichlet 边界条件” 的函数空间

三、边值问题的广义解

对椭圆型边值问题（如 Dirichlet 问题 ），若 $u \in H^1(G)$ 满足 $u|{\partial G} = \varphi$（边界条件 ），且对任意 $v \in H_0^1(G)$ 满足变分方程：
$$
\int{G} \nabla u \cdot \nabla v , dxdy - \int_{G} f v , dxdy = 0
$$
则称 $u$ 是边值问题的广义解，放宽了解的光滑性要求（仅需一阶广义导数 ）

四、自然边界条件（混合边值）

对含自然边界条件的椭圆方程：
$$
\begin{cases}
-\Delta u = f, & G \
\frac{\partial u}{\partial \vec{n}} + \alpha u = \varphi, & \partial G \quad (\alpha \geq 0)
\end{cases}
$$
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}$ 是法向导数 ，若 $u$ 是此方程的解，则对任意 $v \in C^\infty(G)$ ，有
$$
\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v , dxdy -\int_{\partial G}\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}v,ds=\int_G fv,dxdy
$$

$$
\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v , dxdy + \alpha \int_{\partial G} u v , ds = \int_{G} f v , dxdy + \int_{\partial G} \varphi v , ds \quad (\forall v \in H^1(G))
$$

$H^1(G)$ 是 Sobolev 空间，$C^\infty(G)$ 在 $H^1(G)$ 中稠密，故 $u$ 是如下变分问题的解
$$
\begin{cases}
\displaystyle \int_{G} \nabla u \cdot \nabla v , dxdy + \alpha \int_{\partial G} u v , ds = \int_{G} f v , dxdy + \int_{\partial G} \varphi v , ds \quad \forall v \in H^1(G) \
u \in H^1(G)
\end{cases}
$$

反之，若 $u$ 是变分问题的解，且 $u \in C^2(\bar{G}) $，则对任意 $v \in C^\infty(G)$ ，有
$$
\int_{G} \Delta u \cdot v , dxdy -\int_{\partial G}\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}v,ds +\alpha \int_{\partial G} u v , dxdy -\int_{\partial G} \varphi v , ds - \int_G fv,dxdy=0
$$
即
$$
\int_G (-\Delta u-f)v,dxdy+\int_{\partial G}(\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\alpha u-\varphi)v,ds=0
$$
则有
$$
\int_G (-\Delta u-f)v,dxdy=0 \quad \quad \forall v \in C^\infty(G)
$$
由变分法基本引理得
$$
-\Delta u-f=0
$$
于是
$$
\int_{\partial G}(\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\alpha u-\varphi)v,ds=0\quad \quad \forall v \in C^\infty(G)
$$
再由 $\varphi$ 的任意性，则有
$$
\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\alpha u=\varphi
$$
故 $u$ 是原 BVP 的解

Ritz-Galerkin 方法

边值问题（BVP）统一形式

椭圆型边值问题（含零边界条件）：
$$
\begin{cases}
Lu = f \
B.C.
\end{cases}
$$

一、两种变分形式（极小位能原理 + 虚功原理）

极小位能原理（Ritz 法）：

找 $u \in U$ 使总位能
$$
J(u)=\frac{1}{2}a(u,u)-(f,u)
$$
取得极小

其中：$a(u,v)$ 是双线性形式（对称、正定、有界）

如 $-u’‘=f$ 时
$$
a(u,v)=\int_{a}^{b} u’v’ dx
$$
$-\Delta u=f$ 时
$$
a(u,v)=\int_{G} \nabla u \cdot \nabla v dxdy
$$
有界性：$|a(u,v)| \leq C_1 |u|_1 |v|_1$

正定性：$a(u,u) \geq C_2 |u|_1^2$（由 Poincaré 不等式保证 ）

虚功原理（Galerkin 法）：找 $u \in U$ 使 $a(u,v)=(f,v)$ 对任意 $v \in U$ 成立，$a(u,v)$ 可不对称、不正定，适用更广

二、有限维逼近思想

用有限维子空间 $U_n \subset U$ 近似无穷维解空间 $U$ ，设 $U_n$ 的基为 ${ \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n }$ ，则近似解 $\displaystyle u_n = \sum_{i=1}^{n} c_i \varphi_i$ ，代入变分形式（极小位能或虚功原理 ）得到线性方程组，求解系数 $c_i$ ，是有限元方法 “离散化” 的核心步骤

三、Ritz 法（极小位能离散化）

离散近似解：设有限维子空间 $U_n = \text{span}{ \varphi_1, \dots, \varphi_n }$ ，近似解 $\displaystyle u_n = \sum_{i=1}^{n} c_i \varphi_i$

总位能泛函：
$$
J(u_n)=\frac{1}{2}a(u_n,u_n)-(f,u_n)
$$
展开为关于 $c_i$ 的二次型：
$$
\begin{align}
J(u_n) &=\frac{1}{2}a(u_n,u_n)-(f,u_n) \
&= \frac{1}{2}a (\sum_{i=1}^{n}c_i \varphi_i,\sum_{j=1}^{n}c_j \varphi_j)-\sum_{j=1}^{n}(f,\varphi_i)c_j\
&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n} a(\varphi_i,\varphi_j)c_i c_j - \sum_{j=1}^{n} (f,\varphi_j)c_j
\end{align}
$$
极小值条件：记
$$
F(c_1,\cdots,c_n)\triangleq J(u_n)=\frac{1}{2}C^TAC-C^T\bar{f}
$$
令
$$
\frac{\partial F}{\partial c_j}=0,\quad j=1, \cdots,n
$$
即 $\nabla F=0$

则
$$
Ac-\bar{f}=0
$$
即
$$
\sum_{i=1}^{n}a(\varphi i,\varphi j)c_i-(f,\varphi_j)=0
$$
其中：

刚度矩阵 $A = [a(\varphi_i,\varphi_j)]$（对称正定，因 $a(\cdot,\cdot)$ 双线性、正定 ）；
$$
A_{ij}=[a(\varphi i,\varphi j)]
$$
载荷向量 $\bar{f} = [(f,\varphi_j)]$

四、Galerkin 法（虚功原理离散化）

离散方程：找 $\displaystyle u_n = \sum_{i=1}^{n} c_i \varphi_i$ 使 $a(u_n,v)=(f,v)$ 对任意 $v \in U_n$ 成立。

基函数代入：取 $v = \varphi_j$（$j=1,\dots,n$ ），得线性方程组：
$$
\sum_{i=1}^{n} a(\varphi_i,\varphi_j)c_i = (f,\varphi_j)
$$
与 Ritz 法导出的 $Ac = \mathbf{f}$ 完全一致，故 Ritz - Galerkin 方法等价

五、误差估计定理

设 $u$ 是变分问题真解，$u_n$ 是 Ritz - Galerkin 近似解，则存在与 $u, u_n$ 无关的常数 $\beta$ ，满足：
$$
| u - u_n |1 \leq \beta \inf{v \in U_n} | u - v |_1
$$
$|\cdot|_1$ 是 $H^1$ 范数，体现近似解误差不超过真解到子空间 $U_n$ 的最小距离，刻画离散方法的收敛性

若基函数系 ${ \varphi_i }_{i=1}^\infty$ 在解空间 $U$ 中完全（稠密），则由误差估计式

可得 $u_n \to u$（当 $n \to \infty$ 时，$| u - u_n |_1 \to 0$ ）

推导：对任意 $\varepsilon > 0$，因基函数完全，存在 $\displaystyle v_m = \sum_{i=1}^m d_i \varphi_i \in U_m$ 使
$$
| u - v_m |1 < \frac{\varepsilon}{\beta}
$$
当 $n > m$ 时，$U_m \subset U_n$，故
$$
\inf{v \in U_n} | u - v |_1 \leq | u - v_m |_1 < \frac{\varepsilon}{\beta}
$$
代入误差估计式得 $| u - u_n |_1 < \varepsilon$，即 $u_n$ 依 $H^1$ 范数收敛到 $u$

现证误差估计式$$a(u, v_n) = (f, v_n)$$
$$
| u - u_n |1 \leq \beta \inf{v \in U_n} | u - v |_1
$$
成立

对原变分问题 $a(u,v)=(f,v)$

Ritz-Galerkin：
$$
\begin{align}
a(u_n,v_n) &=(f,v_n) \quad \forall v \in U_n\
a(u,v_n) &=(f,v_n)\
\end{align}
$$
故 $a(u-u_n, v_n) = 0$, 对 $\forall v_n \in U_n$

由于 $a(u, u)$ 正定：
$$
\begin{align}
|u-u_n|_1^2 &\leq \frac{1}{r} a(u-u_n, u-u_n)\
&= \frac{1}{r} a(u-u_n, u)\
&= \frac{1}{r} a(u-u_n, u-u_n)\
&\leq \frac{M}{r} \cdot |u-u_n|_1 \cdot |u-v_n|_1
\end{align}
$$

$$
\Rightarrow |u-u_n|_1 \leq \frac{M}{r} |u-v_n|_1 \quad \forall v_n \in U_n
$$

取下确界：
$$
|u-u_n|1 \leq \beta \cdot \inf{v \in U_n} |u-v|_1
$$
注：

1、非零边值条件时，变分问题为 求 $u \in H_\alpha^1 $ 使得
$$
\begin{align}
\int_a^bu’\varphi’,dx &=\int_a^bf\varphi,dx+\beta\varphi(b) \
a(u,\varphi) &=(f,\varphi)+\beta \varphi(b)
\end{align}
$$
设
$$
u_n=u_0(x)+\sum_{i=1}^{n}c_i\varphi_i
$$
其中 $u_0(x)$ 已知，$u_0(a)=\alpha$

Ritz-Galerkin：
$$
\begin{align}
a(u_n,\varphi j) &= (f,\varphi_j)+\beta \varphi_i(b)\
\sum_{i=1}^{n}a(\varphi_i,\varphi_j)c_i &= (f,\varphi_j)+\beta \varphi_j(b)-a(u_0,\varphi_j)
\end{align}
$$
2、对带一阶导数的微分方程，只能用 Ritz-Galerkin 方法
3、$U_n,\varphi_j$ 的不同选取可导出不同方法