边值问题的变分形式

有限元方法基础

一、数学基础（二次函数极值与线性方程组）

矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 对称正定

定理：求

$\min_{x} J(x)=\frac{1}{2}(Ax, x)-(b, x)$

等价于解线性方程组 $Ax = b$

二、弦的平衡问题（两点边值问题）

物理模型：弦在分布外力 $f(x)$ 作用下，平衡位置 $u = u(x)$ 满足微分方程边值问题：

$\begin{cases} -Tu'' = f(x), & 0 < x < L \\ u(0) = 0, \ u(L) = 0 \end{cases}$

$T$ 为弦的张力，$L$ 为弦长

总位势与变分原理：总位势 $J(u)=W_{\text{内}} + W_{\text{外}}$ ，展开为

$\frac{1}{2}\int_{0}^{L} T(u')^2 dx - \int_{0}^{L} f u dx$

应变能 + 外力位能

极小位能原理：弦的平衡位置是满足边界条件的所有可能位移中，使总位能最小的位移，对应变分问题 $\displaystyle \min_{u \in H_0^1} J(u)$ ，是有限元方法（基于 Ritz - Galerkin 法）求解边值问题的物理基础

从数学角度分析

微分方程（ODE - BVP）：设 $T = 1$ ，方程为

$\begin{cases} -u'' = f(x), & 0 < x < L \\ u(0) = 0, \ u(L) = 0 \end{cases}$

对应变分问题：最小化总位势

$J(u)=\frac{1}{2}\int_{0}^{L} (u')^2 dx - \int_{0}^{L} f u dx$

定义域

$E = \left\{ u \in C^2[0,L] \mid u(0)=0 = u(L) \right\}$

等价性证明（变分问题→微分方程）

1.设 $\bar{u}$ 是 $J(u)$ 在 $E$ 中的极小值点，取任意 $v \in C^2[0,l]$ 满足 $v(0)=0 = v(l)$ ，构造 $\bar{u}+\lambda v \in E$（$\lambda \in \mathbb{R}$ ）

2.定义 $\varphi (\lambda)=J(\bar{u}+\lambda v)$ ，因 $\bar{u}$ 是极小值点，故 $\varphi(\lambda)$ 在 $\lambda = 0$ 处取极小，即 $\varphi^\prime(0)=0$

3.展开 $\varphi(\lambda)$ 并对 $\lambda$ 求导，代入 $\lambda = 0$ 得：

$\begin{align} \left. \frac{d\varphi}{d\lambda} \right|_{\lambda = 0} &=\int_{0}^{l} \bar{u}^\prime v^\prime dx - \int_{0}^{l} f v dx \\ &=\bar{u}'v|^l_0-\int_0^l\bar{u}''vdx-\int^l_0fvdx\\ &=-\int_0^l(\bar{u}''+f)vdx\\ &=0 \end{align}$

4.由变分法基本引理

若 $g \in C^2$ 且

$\int_{a}^{b} g \varphi dx = 0$

对任意 $\varphi \in C_0^\infty[a,b]$ 成立，则 $g \equiv 0$

得 $\bar{u}^{\prime\prime}+f = 0$ ，即 $\bar{u}$ 满足原微分方程，又因 $\bar{u}\in E$，故 $\bar{u}(0)=\bar{u}(1)=0$，即 $\bar{u}$ 是原 ODE-BVP 的解

微分方程→变分问题

1.设 $\bar{u}(x)$ 是原 ODE - BVP（$-u’’ = f(x),\ u(0)=u(l)=0$ ）的解，任取 $w \in E$，其中 $E = \{ u \in C^2[0,l] \mid u(0)= 0 = u(l) \} $，令

$v = w - \bar{u}$

则 $v \in C^2[0,l]$ 且 $v(0)=v(l)=0$

2.展开化简

$\begin{align} J(w) &=J(\bar{u}+v)=\frac{1}{2}\int_0^l(\bar{u}'+f)^2dx-\int_0^lf(\bar{u}+v)dx\\ &= \frac{1}{2}\int_0^l[(\bar{u}')^2+2\bar{u}'v'+(v')^2]dx-\int_0^lf(\bar{u}+v)dx\\ &=J(\bar{u})+\int_0^l\bar{u}'v'dx+\frac{1}{2}\int_0^l(v')^2dx-\int_0^lfvdx\\ &=J(\bar{u})+\frac{1}{2}\int_0^l(v')^2dx+\bar{u}'v|^l_0-\int_0^l(\bar{u}''+f)vdx\\ &=J(\bar{u})+\frac{1}{2}\int_0^l(v')^2dx \geq J(\bar{u}) \end{align}$

故 $\bar{u}$ 是变分问题（极小化 $J(u)$ ）的解，证明 ODE - BVP 的解等价于变分问题的解

三、变分法基本引理及拓展

基本引理：若

$\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) dx = 0$

对任意 $\varphi \in C_0^\infty(I)$ 成立，则

若 $f \in C[a,b]$ ，则 $f(x) \equiv 0$ 于 $[a,b]$ ；

若 $f \in L^2(I)$ ，则 $f(x) = 0$ 几乎处处（a.e.）于 $[a,b]$

泛函角度：$-u’’ - f = 0$ 是 $J(u)$ 的 Euler - Lagrange 方程，$J(u)$ 的一阶变分 $\delta J(u)=-u’’ - f$（Frechet 导数）

广义导数（分部积分推广）：通过分部积分引入广义导数概念，处理 $f(x) \in C^1[a,b]$ 时，对 $\varphi \in C_0^\infty[a,b]$ 有

$\int_{a}^{b} f'(x) \varphi(x) dx = -\int_{a}^{b} f(x) \varphi'(x) dx$

设 $f \in L^2[a,b]$，若存在 $g(x) \in L^2[a,b]$，使得对任意 $\varphi \in C_0^\infty[a,b]$（紧支光滑函数），满足：

$\int_{a}^{b} g(x) \varphi(x) dx = -\int_{a}^{b} f(x) \varphi'(x) dx$

则称 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的广义导数，记为 $f’(x) = g(x)$

四、Sobolev 空间 $H^1(I)$

定义：

$H^1(I) = \left\{ f \mid f \in L^2(I),\ f' \in L^2(I) \right\}$

$I = [a,b]$ ，其中 $f’$ 是广义导数

内积与范数：

内积：

$(f,g)_1 = \int_{a}^{b} (fg + f'g') dx$

范数：

$\|f\|_1 = \sqrt{(f,f)_1}$

空间性质：$H^1(I)$ 是 Hilbert 空间（完备内积空间）

五、一般 Sobolev 空间 $W^{k,p}(I)$

定义：

$W^{k,p}(I) = \left\{ f \mid f, f', \dots, f^{(k)} \in L^p(I) \right\}$

其中 $f^{(m)}$（$m \leq k$ ）是 $m$ 阶广义导数，满足：

$\int_{a}^{b} g(x) \varphi(x) dx = (-1)^k \int_{a}^{b} f(x) \varphi^{(k)}(x) dx \quad (\forall \varphi \in C_0^\infty(I))$

推广：可拓展到平面区域 $G$，记为 $W^{k,p}(G)$ ，是偏微分方程弱解理论的核心空间框架

六、广义解定义

对 ODE - BVP 的变分问题：

$\begin{align} &\min_{u \in E} J(u)=\frac{1}{2}\int_{0}^{L} (u')^2 dx - \int_{0}^{L} f u dx\\ &E = \left\{ u \in H^1(0,L) \mid u(0)=0 = u(L) \right\} \end{align}$

若变分问题有解 $\bar{u}$，则称 $\bar{u}$ 是原 ODE - BVP 的广义解

七、边界条件分类（本质边值 vs 自然边值）

本质边值条件：直接约束函数值的边界条件（如 $u(a)=\alpha, u(b)=\beta$ ），对应变分问题中定义域 $E$ 的约束（$u \in E$ 需满足 $u(a)=\alpha, u(b)=\beta$ ）。

自然边值条件：通过变分推导自动满足的边界条件（如 $u’(b)=\beta$ ），无需显式加入定义域约束，由变分问题极小值点的一阶条件导出。

不同边界条件的变分问题：

本质边值（ $u(a)=\alpha, u(b)=\beta$ ）：变分问题为

$\begin{align} &\min_{u \in E} J(u)=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} (u')^2 dx - \int_{a}^{b} f u dx\\ &E = \left\{ u \in C^2[a,b] \mid u(a)=\alpha, u(b)=\beta \right\} \end{align}$

混合边值（ $u(a)=\alpha$ ）：变分问题为

$\begin{align} &\min_{u \in E} J(u)=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} (u')^2 dx - \int_{a}^{b} f u dx - \beta u(b)\\ &E = \left\{ u \in C^2[a,b] \mid u(a)=\alpha \right\} \end{align}$

八、自然边值条件的证明

先证必要性：

设 $\bar{u}$ 是变分问题极小值点，取 $v \in C^2[a,b]$ 满足 $v(a)=0$ ，构造 $\bar{u}+\lambda v \in E$（$\lambda \in \mathbb{R}$ ）

定义 $\varphi(\lambda)=J(\bar{u}+\lambda v)$ ，因 $\bar{u}$ 是极小值点，故 $\varphi’(0)=0$ 。展开并化简得：

$\begin{align} \varphi(\lambda) &= J(\bar{u}+\lambda v)\\ &=\frac{1}{2}\int_a^b(\bar{u}'+\lambda v')^2dx-\int_a^b f(\bar{u}+\lambda v)dx-\beta(\bar{u}(b)+\lambda v(b))\\ &=\frac{1}{2}\int_a^b(\bar{u}')^2dx-\int_a^b f\bar{u}dx-\beta \bar{u}(b)+\frac{1}{2}\int_a^b(v')^2dx\cdot\lambda^2+\lambda[\int_a^b(\bar{u}'v'-fv)dx-\beta v(b)]\\ &=J(\bar{u})+\frac{1}{2}\int_a^b(v')^2dx\cdot\lambda^2+\lambda[\int_a^b(\bar{u}'v'-fv)dx-\beta v(b)] \end{align}$

由 $\bar{u}$ 是变分问题极小值点，故 $\varphi’(0)=0$

$\begin{align} \varphi'(0) &= \int_a^b(\bar{u}'v'-fv)dx-\beta v(b)\\ &=\bar{u}v|_a^b-\int_a^b(\bar{u}''+f)vdx-\beta v(b)\\ &=-\int_a^b(\bar{u}''+f)vdx+(\bar{u}'(b)-\beta)v(b)\\ &=0 \end{align}$

由变分法基本引理得

$-\bar{u}''-f=0$

进而 $u’(b)=\beta$ 自动满足

再证充分性：

设 $\bar{u}$ 是 ODE - BVP 的解，任取 $w \in E$ ，令 $v = w - \bar{u}$ ，则 $v \in C^2[a,b],v(a)=0$

展开 $J(w)$ 并化简

$\begin{align} J(w) &=J(\bar{u}+v)=\frac{1}{2}\int_a^b(\bar{u}'+v')^2dx-\int_a^bf(\bar{u}+b)dx-\beta (\bar{u}(b)+v(b))\\ &=J(\bar{u}) +\frac{1}{2}\int_a^b(v')^2dx+\int_a^b\bar{u}'v'dx-\int_a^bfvdx-\beta v(b)\\ &=J(\bar{u})+\frac{1}{2}\int_0^l(v')^2dx+\bar{u}'v|^b_a-\int_0^l(\bar{u}''+f)vdx-\beta v(b)\\ &=J(\bar{u})+\frac{1}{2}\int_0^l(v')^2dx \geq J(\bar{u}) \end{align}$

即 $\bar{u}$ 是变分问题的解

九、虚功原理（弱形式与广义解）

虚功原理表述：对 ODE - BVP（$-u’’ = f,\ u(a)=0,\ u(b)=0$ ），$\bar{u} \in C^2$ 是解等价于满足变分方程：

$\int_{a}^{b} \bar{u}' v' dx - \int_{a}^{b} f v dx = 0 \quad (\forall v \in H_E^1)$

其中

$H_E^1 = \left\{ u \in H^1(a,b) \mid u(a)=0 \right\}$

称为 Sobolev 空间约束

广义解：变分方程的解允许 $u$ 不光滑（仅需 $u \in H_E^1$ ），称为 ODE - BVP 的广义解，拓展了经典解的适用范围，是有限元方法求解偏微分方程的核心理论（弱解框架）