初值问题的差分逼近

对于一阶双曲方程

$\begin{cases}u_t + a u_x = 0 \\ \text{初值条件、边值}\end{cases}$

周期边界：$u(0,t)=u(L,t)$

Dirichlet 边界：$\begin{cases}a>0时，u(0,t)=g(t) \ a<0时，u(L,t)=g(t) \end{cases}$

双曲、椭圆、抛物型方程区别

依据特征来区分，初值的性质体现为沿特征传播，无间断

几种常见差分格式（迎风格式相关）

设时间步长为$\tau$，空间步长为$h$，$\displaystyle r = \frac{a\tau}{h}$，以下为时间向前的三种显式格式：

格式一：空间向后

$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\tau} + a\frac{u_j^n - u_{j - 1}^n}{h} = 0$

精度 $O(\tau + h)$ ，对应 Fourier 方法变换（设 $u_j^n = v^n e^{i\lambda x_j}$ ）

$\begin{align} u_j^{n+1} &= (1 - r)u_j^n + r u_{j - 1}^n \\ \implies v^{n+1} &= [(1 - r) + r e^{-i\lambda h}]v^n \\ &= \lambda_1 v^n \end{align}$

格式二：空间向前

$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\tau} + a\frac{u_{j + 1}^n - u_j^n}{h} = 0$

精度 $O(\tau + h)$ ，Fourier 变换后：

$\begin{align} u_j^{n+1} &= (1 + r)u_j^n - r u_{j + 1}^n \\ \implies v^{n+1} &= [(1 + r) - r e^{i\lambda h}]v^n \\ &= \lambda_2 v^n \end{align}$

格式三：空间中心

$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\tau} + a\frac{u_{j + 1}^n - u_{j - 1}^n}{2h} = 0$

精度 $O(\tau + h^2)$ ，Fourier 变换后：

$\begin{align} u_j^{n+1} &= u_j^n + \frac{r}{2}u_{j - 1}^n - \frac{r}{2}u_{j + 1}^n \\ \implies v^{n+1} &= \left[1 - \frac{r}{2}(e^{i\lambda h} - e^{-i\lambda h})\right]v^n \\ &= \lambda_3 v^n \end{align}$

差分格式稳定性（Fourier 分析）

设三种差分格式对应增长因子为 $\lambda_1$、$\lambda_2$、$\lambda_3$ ，通过模长 $|\lambda|^2$ 分析稳定性：

格式一：（空间向后，$a>0$ 场景）

$\begin{align} |\lambda_1|^2 &=(1 - r + r\cos\lambda h)^2 + (-r\sin\lambda h)^2 \\ &= 1 + 2r(1 - r)(\cos\lambda h - 1) \end{align}$

由 $2r(1 - r)\geq0$（需 $0\leq r\leq1$ ，即 $\displaystyle \frac{a\tau}{h}\leq1$ 且 $a>0$ ），当 $a>0$ 且 $\displaystyle \frac{a\tau}{h}\leq1$ 时，格式 1 稳定

格式二：（空间向前，$a<0$ 场景）

$|\lambda_2|^2=1 + 2r(r + 1)(1 - \cos\lambda h)$

由 $r(r + 1)\leq0$（需 $-1\leq r\leq0$ ，即 $\displaystyle \frac{a\tau}{h}\geq -1$ 且 $a<0$ ），对应情况下格式 2 稳定

格式三：（空间中心）

$|\lambda_3|^2=1 + r^2\sin^2\lambda h > 1$

增长因子模长恒大于 1，格式 3 恒不稳定

稳定性条件的特征线解释

特征线方程 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=a$ ，沿特征线 $u = \text{const}$ 。以 $a>0$ 为例，利用特征线附近节点（$Q_1,Q_0$ 等）做线性插值构造数值解，推导得数值解形式 $u_j^{n+1}=ru_{j - 1}^n + (1 - r)u_j^n$（即格式 1 ），稳定性条件要求数值解依赖域包含精确解依赖域 ；$a<0$ 时同理分析格式 2

迎风格式总结

一、显式迎风格式

$\begin{cases} \displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\tau} + a\frac{u_j^n - u_{j - 1}^n}{h} = 0, & a>0 \\ \displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\tau} + a\frac{u_{j + 1}^n - u_j^n}{h} = 0, & a<0 \end{cases}$

二、隐式迎风格式

$\begin{cases} \displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\tau} + a\frac{u_j^{n+1} - u_{j - 1}^{n+1}}{h} = 0, & a>0 \\ \displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\tau} + a\frac{u_{j + 1}^{n+1} - u_j^{n+1}}{h} = 0, & a<0 \end{cases}$

三、变系数情形（$a(x)$ 为系数）

对于方程

$u_t + a(x) u_x = 0$

显式迎风格式：

$\begin{cases} \displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\tau} + a(x_j)\frac{u_j^n - u_{j - 1}^n}{h} = 0, & a(x_j)\geq0 \\ \displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\tau} + a(x_j)\frac{u_{j + 1}^n - u_j^n}{h} = 0, & a(x_j)<0 \end{cases}$

稳定性充分条件：

$\frac{\tau}{h}\max_j|a(x_j)|\leq1$

一阶双曲方程组

形式为

$\frac{\partial U}{\partial t} + A(x)\frac{\partial U}{\partial x} = F$

也有迎风格式，空间导数离散依赖 $A(x)$ 特征值的正交性

积分守恒格式（有限体积法）

针对散度型 PDE：

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(t,u)}{\partial x} = 0$

设 $G$ 为 $x$ - $t$ 平面有界域，由 Green 公式：

$\iint_G \left(\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x}\right)dxdt = \int_{\Gamma} (f dt - u dx)$

结合边界积分关系，得

$\int_{\Gamma} (f dt - u dx) = 0$

体现积分守恒特性，是有限体积法离散的理论基础

一、Lax - Friedrichs 格式

推导：通过对积分守恒形式（在区域 $G = ABCD$ 上积分 $\displaystyle \int_{\Gamma} fdt - udx = 0$ ）做数值积分近似，得到格式：

$\frac{u_j^{n + 1}-\frac{u_{j + 1}^n + u_{j - 1}^n}{2}}{\tau}+\frac{f_{j + 1}^n - f_{j - 1}^n}{2h}=0$

截断误差 $O(\tau + h^2)$

特殊情形（$f=au$ 时）：格式为

$\frac{u_j^{n + 1}-\frac{u_{j + 1}^n + u_{j - 1}^n}{2}}{\tau}+a\frac{u_{j + 1}^n - u_{j - 1}^n}{2h}=0$

变形得

$u_j^{n + 1}=\frac{1}{2}(1 - r)u_{j + 1}^n+\frac{1}{2}(1 + r)u_{j - 1}^n$

增长因子与稳定性：

增长因子

$\lambda=\frac{1}{2}(1 - r)e^{i\lambda h}+\frac{1}{2}(1 + r)e^{-i\lambda h}$

模长平方

$|\lambda|^2 = 1+\frac{r^2}{2}(\cos\lambda h - 1)$

由 $|\lambda|$ 一致有界得 $|r|\leq1$（即 $\displaystyle \left|\frac{a\tau}{h}\right|\leq1$ ）时稳定

二、盒式格式（Box scheme）

形式：在区域 $G = ABCD$ 上，格式为

$\frac{u_j^{n + 1}-u_j^n}{\tau}+\frac{u_{j + 1}^{n + 1}-u_{j - 1}^{n + 1}}{2h}+\frac{f_j^n - f_{j - 1}^n}{h}+\frac{f_{j + 1}^{n + 1}-f_j^{n + 1}}{h}=0$

截断误差：$O(\tau^2 + h^2)$

特殊情形（$f=au$ 时）：化简得

$(1 + r)au_j^{n + 1}+(1 - r)au_{j + 1}^{n + 1}=(1 - r)au_j^n+(1 + r)au_{j - 1}^n$

显式实现时，$a>0$ 给左边值，$a<0$ 给右边值

增长因子 $\lambda$ 满足

$\lambda =\frac{(1-r)+(1+r)\cos{\alpha h}-i(1+r)\sin{\alpha h}}{(1+r)+(1-r)\cos{\alpha h}-i(1-r)\sin{\alpha h}}$

$|\lambda|=1$，故盒式格式恒稳定

三、粘性差分格式（迎风格式改写）

对迎风格式

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\tau}+a_j\frac{u_j^n - u_{j - 1}^n}{h}=0 \quad (a_j\geq0)$

改写、变形，可等价为带小参数的抛物方程中心差分格式：

$u_t + a(x)u_x = a(x)\cdot\frac{h}{2}\cdot u_{xx}$

构造方式含自然粘性项与人工粘性项，通过引入小参数正则化，改善格式稳定性精度

四、Lax - Wendroff 格式

从守恒律方程

$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0$

出发，对$u$做 Tayler 展开并消去余项，用中心差商代换导数，得到格式：

$u_j^{n+1}=u_j^n+(-\tau)\frac{f_{j + 1}^n - f_{j - 1}^n}{2h}+\frac{\tau^2}{2}\cdot\frac{a_{j + \frac{1}{2}}^n (f_{j + 1}^n-f_j^n) - a_{j - \frac{1}{2}}^n (f_j^n-f_{j - 1}^n)}{h^2}$

其中

$a_{j+\frac{1}{2}}^n = f^\prime(\frac{u_{j}^n+u_{j+1}^n}{2})$

本质是带粘性项方程的中心差分格式，利用泰勒展开和差商构造，实现二阶精度离散

$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\tau}{2}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(f^{\prime}(u)\frac{\partial f}{\partial x})$

特殊情形（$f = au$ 时）

方程：

$\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\tau}{2}\cdot a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

截断误差 $O(\tau^2 + h^2)$

差分格式：

$u_j^{n+1}=\frac{1}{2}r(r - 1)u_{j + 1}^n+(1 - r^2)u_j^n+\frac{1}{2}r(r + 1)u_{j - 1}^n$

增长因子：

$G = 1 + r^2(\cos\lambda h - 1)-ir\sin\lambda h$

稳定性条件：$|r|\leq1$

五、隐式中心格式

格式：

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\tau}+a\frac{u_{j + 1}^{n+1}-u_{j - 1}^{n+1}}{2h}=0$

性质：恒稳定

六、跳蛙格式（Leap - frog）

格式：

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n-1}}{2\tau}+a\frac{u_{j + 1}^n - u_{j - 1}^n}{2h}=0$