三角网的差分格式

区域离散化

三角剖分：对求解区域进行三角剖分，需记录点、边、三角形的编号和存储信息，以便准确描述区域离散后的结构

对偶剖分：通过边的中垂线交点围成对偶部分，为后续构建控制容积提供基础

从微分形式到离散差分格式

积分转化：对二维 Poisson 方程 $-\Delta u = f$ ，在控制容积 $G_0$ 上积分，得到

$-\iint_{G_0}\Delta u dxdy=\iint_{G_0}f dxdy$

右端项近似：

$\iint_{G_0}f dxdy\approx m(G_0)f(P_0)$

其中 $m(G_0)$ 是控制容积 $G_0$ 的面积，$P_0$ 是内点，该近似基于在小区域内函数值变化不大的假设

左端项处理：利用 Green 公式

$\iint_{G_0}\Delta u dxdy=\int_{\partial G_0}\frac{\partial u}{\partial n}ds$

$\displaystyle \vec{n}$ 是 $\partial G_0$ 的单位外法向。将边界积分 $\displaystyle \int_{\partial G_0}\frac{\partial u}{\partial n}ds$

离散化为

$\sum_{i = 1}^{6}\overline{q_iq_{i + 1}}\int_{\overline{q_iq_{i + 1}}}\frac{\partial u}{\partial n}ds$

这里假设控制容积边界由 6 条边组成，进一步近似为

$\sum_{i = 1}^{6}\overline{q_iq_{i + 1}}\cdot\frac{u(P_{i + 1})-u(P_0)}{\overline{P_0P_{i + 1}}}$

其中 $\overline{q_iq_{i + 1}}$ 是边的长度，$\overline{P_0P_{i + 1}}$ 是相关点间距离

差分格式：最终得到内点的差分格式

$-\sum_{i = 1}^{6}\overline{q_iq_{i + 1}}\cdot\frac{u(P_{i + 1})-u(P_0)}{\overline{P_0P_{i + 1}}}=m(G_0)f(P_0)$

边界点 $P_0$ 处的差分方程

以第二、第三边界条件

$(\frac{\partial u}{\partial n}+ku)|_{\Gamma}=\gamma$

为例，选取控制容积

$G_0 = P_0m_1q_1q_2q_3m_4$

在该控制容积上，根据积分形式有

$-\int_{\partial G_0}\frac{\partial u}{\partial n}ds=\iint_{G_0}f dxdy$

其中 $\partial G_0$ 由 $\overline{P_0m_1}$、$\overline{m_1q_1}$、$\overline{q_1q_2}$、$\overline{q_2q_3}$、$\overline{q_3m_4}$、$\overline{m_4P_0}$ 等线段组成

边界积分计算

对于 $\displaystyle \int_{\overline{m_4P_0}}\frac{\partial u}{\partial n}ds$

用边界条件 $\displaystyle (\frac{\partial u}{\partial n}+ku)|_{\Gamma}=\gamma$ ，可得

$\int_{\overline{m_4P_0}}\frac{\partial u}{\partial n}ds=\int_{\overline{m_4P_0}}(\gamma - ku)ds$

通过近似计算，先将 $u$ 在该线段上近似为平均值，如

$\approx\frac{1}{\overline{m_4P_0}}(\gamma - k\cdot\frac{1}{2}(u_{P_0}+u_{m_4}))$

进一步化简为

$\begin{align} &\approx\frac{1}{\overline{m_4P_0}}(\gamma - k\cdot\frac{1}{2}(u_{P_0}+\frac{u_{P_0}+u_{P_4}}{2}))\\ &=\frac{1}{2}\overline{P_0P_4}(\gamma-\frac{k}{4}(3u_{P_0}+u_{P_4})) \end{align}$

对于 $\displaystyle \int_{\overline{P_0m_1}}\frac{\partial u}{\partial n}ds$ ，计算方式同理

离散化方程组要点

形成离散化方程组时，节点的排序和离散方程的排序很关键。合理的排序能使系数矩阵具有更好的结构（如带状、稀疏等），便于采用合适的数值方法（如迭代法）求解方程组，提高计算效率和稳定性

极值定理与敛速估计

极值定理

条件：设 $u_{ij}$ 是区域上的网格函数，差分方程为

$L_hu_{ij}=a_{ij}u_{ij}-a_{i - 1,j}u_{i - 1,j}-\cdots - a_{i,j + 1}u_{i,j + 1}=F_{ij}$

当 $h_1$，$h_2$ 充分小时，系数 $a_{ij}\geq0$ 且

$a_{ij}\geq a_{i - 1,j}+a_{i,j - 1}+a_{i + 1,j}+a_{i,j + 1}$

若 $L_hu_{ij}\leq0$ （或 $L_hu_{ij}\geq0$ ）对 $\forall (x_i,y_j)\in G_h$ 成立

结论：$u_{ij}$ 不可能在内点取正的极大值（或负的极小值），除非 $u_{ij}$ 为常数

证明：采用反证法。假设 $u_{ij}$ 非常值函数且在 $G_h$ 中某点达到正的最大值 $M$ ，由于 $G_h$ 连通，必有内点 $(x_{i_0},y_{j_0})$ 使 $\displaystyle u_{i_0j_0}=M$ 且有相邻网格点 $(x_{i_0 + 1},y_{j_0})$ 使 $u_{i_0+1,j_0}< M $ ，代入差分方程会推出 $ L_hu_{i_0j_0}>0 $ ，与 $L_hu_{ij}\leq0 $ 矛盾

推论 5.1：由极值定理可推出差分方程有唯一解。因为若存在两个解 $u_{ij}$ 和 $v_{ij}$

令

$w_{ij}=u_{ij}-v_{ij}$

则

$L_hw_{ij}=0$

根据极值定理，$w_{ij}$ 只能为常数，又在边界上若 $u_{ij}=v_{ij}$ ，则 $w_{ij}=0$ ，即 $u_{ij}=v_{ij}$ ，所以解唯一

推论 5.2：若 $L_hu_{ij}\geq0$ ，在 $G_h$ 内且 $u_{ij}\geq0$ 在 $\Gamma_h$ （边界）上，则 $u_{ij}\geq0$ 在 $G_h$ 内。这是极值定理的直接应用，表明在特定条件下函数值的非负性在区域内得以保持

比较定理

条件：若 $|L_hu_{ij}|\leq L_hU_{ij}$ 在 $G_h$ 内，且 $|u_{ij}|\leq U_{ij}$ 在 $\Gamma_h$ 上

结论：则 $|u_{ij}|\leq U_{ij}$ 在 $G_h$ 内

证明：

已知条件 $|L_hu_{ij}|\leq L_hU_{ij}$ 在 $G_h$ 内，$|u_{ij}|\leq U_{ij}$ 在 $\Gamma_h$ 上

考虑 $L_h(U_{ij}-u_{ij})\geq0$ 在 $G_h$ 内，且 $U_{ij}-u_{ij}\geq0$ 在 $\Gamma_h$ 上，根据前面的推论 5.2，可得 $U_{ij}-u_{ij}\geq0$ 在 $G_h$ 内；同理，$L_h(U_{ij}+u_{ij})\geq0$ 在 $G_h$ 内，$U_{ij}+u_{ij}\geq0$ 在 $\Gamma_h$ 上，也能推出 $U_{ij}+u_{ij}\geq0$ 在 $G_h$ 内。综合起来，就证明了 $|u_{ij}|\leq U_{ij}$ 在 $G_h$ 内

推论 5.3

条件：若 $L_hu_{ij}=0$ 在 $G_h$ 内，且 $u_{ij}=\alpha_{ij}$ 在 $\Gamma_h$ 上

结论：

$\max_{G_h}|u_{ij}|\leq\max_{\Gamma_h}|\alpha_{ij}|$

证明：设 $U_{ij}$ 是

$\begin{cases}L_hU_{ij}=0, & G_h\\U_{ij}=|\alpha_{ij}|, & \Gamma_h\end{cases}$

的解。由比较定理可得 $|u_{ij}|\leq U_{ij}$ 在 $G_h$ 内。若 $U_{ij}$ 是常数，那么

$U_{ij}=\max_{\Gamma_h}|\alpha_{ij}|$

若 $U_{ij}$ 非常数，因为 $U_{ij}\geq0$ 且 $L_hU_{ij}=0$ ，根据极值定理，$U_{ij}$ 的最大值只能在 $\Gamma_h$ 上取到，所以

$U_{ij}\leq\max_{\Gamma_h}|\alpha_{ij}|$

从而得出

$|u_{ij}|\leq U_{ij}\leq\max_{\Gamma_h}|\alpha_{ij}|$

即

$\max_{G_h}|u_{ij}|\leq\max_{\Gamma_h}|\alpha_{ij}|$

该推论在估计差分方程解的范围时非常有用，表明在区域内差分方程的解的绝对值不会超过边界值的绝对值最大值

五点格式的敛速估计

离散化与误差定义

对于二维 Poisson 方程 $-\Delta u = f$ 在区域 $G$ 上，边界条件 $u = \alpha(x,y)$ 在 $\Gamma$ 上。离散化后得到

$\begin{cases}L_hu_{ij}=\varphi_{ij},&G\\u_{ij}=\alpha_{ij},&\Gamma_h\end{cases}$

真解满足

$\begin{cases}L_hu(x_i,y_i)=\varphi_{ij}+R_{ij},&G\\u(x_i,y_i)=\alpha_{ij},&\Gamma_h\end{cases}$

其中 $R_{ij}$ 是局部截断误差，正则内点处 $R_{ij}=O(h^2)$ ，非正则内点处 $R_{ij}=O(h)$ ，且 $|R_{ij}|\leq kh$

其中

$h=\sqrt{h_1^2+h_2^2}$

定义误差

$e_{ij}=u(x_i,y_i)-u_{ij}$

则有

$\begin{cases}L_he_{ij}=R_{ij},&G_h\\e_{ij}=0,&\Gamma_h\end{cases}$

构造辅助函数

设 $R$ 是以 $(0,0)$ 为心包含 $G$ 的最小圆半径，构造辅助函数

$E_{ij}=\frac{kh}{4}(R^2 - x_i^2 - y_j^2)$

可以验证 $E_{ij}\geq0$ 在 $\overline{G}_h$ 上，且 $L_hE_{ij}=kh$

即

$\begin{cases}L_hE_{ij}=kh,&G_h\\E_{ij}\geq0,&\Gamma_h\end{cases}$

应用比较定理

因为

$|L_he_{ij}| = |R_{ij}|\leq kh = L_hE_{ij}\quad(在 G_h 内)$ $|e_{ij}| = 0\leq E_{ij}\quad(在 \Gamma_h 上)$

根据比较定理可得

$|e_{ij}|\leq E_{ij}\leq\frac{khR^2}{4}$

所以

$\max_{G_h}|e_{ij}|\leq\frac{khR^2}{4}=O(h)$

这表明随着网格步长 $h$ 趋于 0 ，差分格式的解 $u_{ij}$ 收敛到真解 $u(x_i,y_i)$ ，且收敛阶为 $O(h)$