伽马函数

定义

伽马函数（Gamma Function）是阶乘函数在实数与复数域上的扩展。对于正实数 $$ x $$（$$ x > 0 $$），伽马函数的定义如下：

$$
\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} , dt
$$

对于正整数 $$ n $$，伽马函数满足：
$$
\Gamma(n) = (n-1)!
$$

性质

  1. 递推关系：$$\displaystyle \Gamma(x+1) = x \Gamma(x) $$

  2. 特殊值：

    • $$ \Gamma(1) = 1 $$
    • $$ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} $$

  3. 欧拉反射公式：
    $$
    \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}
    $$

例题

例题1：计算 $$\displaystyle \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) $$

解：
利用递推关系：
$$
\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)
$$
已知 $$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} $$，因此：
$$
\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}
$$

例题2：验证 $$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x} , dx = \Gamma(3) $$

解：
根据伽马函数定义：
$$
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x} , dx = \Gamma(3)
$$
计算得：
$$
\Gamma(3) = 2! = 2
$$
因此积分值为 $$ 2 $$

伽马函数的推广形式

指数部分为 $$-a x$$ 的广义积分

当积分中的指数函数形式为 $$\displaystyle e^{-a x}$$（$$a > 0$$）时，伽马函数的定义可推广为：

$$
\int_{0}^{\infty} x^{k-1} e^{-a x} , dx = \frac{\Gamma(k)}{a^k}, \quad k > 0, , a > 0
$$

推导过程

通过变量替换 $$\displaystyle t = a x $$（即 $$\displaystyle x = \frac{t}{a} $$，$$\displaystyle dx = \frac{dt}{a} $$），原积分变为：
$$
\int_{0}^{\infty} \left(\frac{t}{a}\right)^{k-1} e^{-t} \cdot \frac{dt}{a} = \frac{1}{a^k} \int_{0}^{\infty} t^{k-1} e^{-t} , dt = \frac{\Gamma(k)}{a^k}
$$

例题

例题3：计算 $$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-2x} , dx $$

解：
对应形式为 $$ k = 4 $$，$$ a = 2 $$：
$$
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-2x} , dx = \frac{\Gamma(4)}{2^4} = \frac{3!}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}
$$

例题4：计算 $$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} e^{-3x} , dx $$

解：
对应形式为 $$ k = \frac{3}{2} $$，$$ a = 3 $$：
$$
\int_{0}^{\infty} x^{\frac{1}{2}} e^{-3x} , dx = \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{3^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{3 \sqrt{3}} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\pi}}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{\pi}}{6 \sqrt{3}}
$$

例题5：验证 $$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x e^{-5x} , dx = \frac{1}{25} $$

解：
对应形式为 $$ k = 2 $$，$$ a = 5 $$：
$$
\int_{0}^{\infty} x e^{-5x} , dx = \frac{\Gamma(2)}{5^2} = \frac{1!}{25} = \frac{1}{25}
$$

伽马函数在指数为二次时的推广

高斯积分（指数为 $$-a x^2$$ 的情形）

对于形如 $$\displaystyle e^{-a x^2}$$ 的指数函数，积分可以表示为：

$$
\int_{0}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}, \quad a > 0
$$

一般形式

对于积分：

$$
\int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx, \quad n \geq 0, a > 0
$$

结果为：

$$
\int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx = \frac{1}{2}a^{-\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)
$$

推导过程

令 $$u = a x^2$$，则：

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx &= \frac{1}{2}a^{-\frac{n+1}{2}}\int_{0}^{\infty} u^{\frac{n-1}{2}} e^{-u} du \
&= \frac{1}{2}a^{-\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)
\end{aligned}
$$

例题

例题6：计算 $$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-3x^2} dx$$

$$
\int_{0}^{\infty} e^{-3x^2} dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3\pi}}{6}
$$

例题7：计算 $$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} dx$$

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} dx &= \frac{1}{2} \cdot 2^{-\frac{3}{2}} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \
&= \frac{1}{2^{5/2}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi} \
&= \frac{\sqrt{\pi}}{8\sqrt{2}}
\end{aligned}
$$

例题8：计算 $$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x^2} dx$$

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x^2} dx &= \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) \
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi} \
&= \frac{3\sqrt{\pi}}{8}
\end{aligned}
$$

更一般情形

对于积分：

$$
\int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^m} dx, \quad n \geq 0, a > 0, m > 0
$$

结果为：

$$
\int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^m} dx = \frac{1}{m}a^{-\frac{n+1}{m}}\Gamma\left(\frac{n+1}{m}\right)
$$

示例：计算 $$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^4} dx$$

$$
\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^4} dx = \frac{1}{4}\Gamma(1) = \frac{1}{4}
$$

伽马函数速记

规定：$\displaystyle (-\frac{1}{2})!=\sqrt{\pi}$ ，$\displaystyle (\frac{1}{2})!=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$，$\displaystyle (\frac{3}{2})!=\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^a e^{-x} dx = a!$ $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^a e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{a-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \quad e^{-x} dx = 0!$ $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \quad e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{0-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^1 e^{-x} dx = 1!$ $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^1 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{1-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x} dx = 2!$ $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{2-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x} dx = 3!$ $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{3-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x} dx = 4!$ $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{4-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^5 e^{-x} dx = 5!$ $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^5 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{5-1}{2})!$

贝塔函数

定义

积分定义

贝塔函数（Beta Function）是两类特殊函数之一，定义为以下含参积分：
$$
B(x, y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt \quad (x > 0, y > 0)
$$

  • 收敛性：当且仅当 $x>0$ 且 $y>0$ 时积分收敛
  • 对称性：$\displaystyle B(x,y) = B(y,x)$

1.2 伽马函数关系

贝塔函数与伽马函数（Gamma Function）存在如下关系：
$$
B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
$$
其中伽马函数定义为：
$$
\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt
$$

重要性质

性质 数学表达式
递推关系 $\displaystyle B(x+1,y) = \frac{x}{x+y} B(x,y)$
三角函数形式 $\displaystyle B(x,y) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2x-1}\theta \cos^{2y-1}\theta d\theta$
与组合数关系 $\displaystyle B(n, m) = \frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}$ （$n,m \in \mathbb{Z}^+$）

典型例题

例题1：基础积分计算

计算 $B(3, 2)$

分步解析：

  1. 根据积分定义：
    $$
    B(3, 2) = \int_{0}^{1} t^{2} (1-t)^{1} dt
    $$

  2. 展开被积函数：
    $$
    = \int_{0}^{1} (t^2 - t^3) dt
    $$

  3. 逐项积分：
    $$
    = \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{1}
    $$

  4. 代入上下限：
    $$
    = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}
    $$

验证：通过伽马函数验证：
$$
B(3,2) = \frac{\Gamma(3)\Gamma(2)}{\Gamma(5)} = \frac{2! \cdot 1!}{4!} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}
$$

例题2：三角函数形式

证明：
$$
\int_{0}^{\pi/2} \sin^5 x \cos^3 x dx = \frac{1}{24}
$$

分步解析：

  1. 转换为贝塔函数形式：
    $$
    \text{原式} = \frac{1}{2} B(3, 2)
    $$

  2. 计算贝塔函数值：
    $$
    B(3,2) = \frac{\Gamma(3)\Gamma(2)}{\Gamma(5)} = \frac{1}{12}
    $$

  3. 最终结果：
    $$
    \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{24}
    $$

扩展公式

不完全贝塔函数：
$$
B_z(a,b) = \int_{0}^{z} t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt \quad (0 \leq z \leq 1)
$$

正则化贝塔函数：
$$
I_z(a,b) = \frac{B_z(a,b)}{B(a,b)}
$$

贝塔函数的三角形式详解

基本三角形式定义

贝塔函数可以通过三角函数表示为：
$$
B(x, y) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2x-1}\theta \cdot \cos^{2y-1}\theta , d\theta \quad (x>0, y>0)
$$

推导过程

变量代换

从标准积分定义出发：
$$
B(x, y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt
$$

作变量替换：
$$
t = \sin^2 \theta, \quad 1-t = \cos^2 \theta
$$

微分变换：
$$
dt = 2 \sin \theta \cos \theta , d\theta
$$

积分限变化

当 $t=0$ 时 $\theta=0$，当 $t=1$ 时 $\theta=\pi/2$，因此：
$$
\begin{aligned}
B(x, y) &= \int_{0}^{\pi/2} (\sin^2 \theta)^{x-1} (\cos^2 \theta)^{y-1} \cdot 2 \sin \theta \cos \theta , d\theta \
&= 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2x-1}\theta \cdot \cos^{2y-1}\theta , d\theta
\end{aligned}
$$

特殊情形

对称性体现

当 $\displaystyle x = y = \frac{1}{2}$ 时：
$$
B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = 2 \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \pi
$$

整数参数情形

对于 $\displaystyle m, n \in \mathbb{Z}^+$：
$$
B(m, n) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2m-1}\theta \cos^{2n-1}\theta , d\theta
$$

典型例题

例题1：计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^5 \theta \cos^3 \theta , d\theta$

解：

  1. 识别贝塔函数形式：
    $$
    \text{积分} = \frac{1}{2} B(3, 2)
    $$

  2. 计算贝塔函数值：
    $$
    B(3, 2) = \frac{\Gamma(3)\Gamma(2)}{\Gamma(5)} = \frac{2! \cdot 1!}{4!} = \frac{1}{12}
    $$

  3. 最终结果：
    $$
    \int_{0}^{\pi/2} \sin^5 \theta \cos^3 \theta , d\theta = \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{24}
    $$

例题2：证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\tan \theta} , d\theta = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

分步解析：

  1. 令 $t = \tan \theta$，则：
    $$
    \int_{0}^{\pi/2} \tan^{1/2} \theta , d\theta = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{1/2}}{1+t^2} dt
    $$

  2. 转换为贝塔函数：
    $$
    = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{u^{1/4}}{1+u} du \quad (u=t^2) \
    = \frac{1}{2} B\left(\frac{5}{4}, \frac{3}{4}\right)
    $$

  3. 利用伽马函数性质：
    $$
    = \frac{1}{2} \cdot \frac{\Gamma(5/4)\Gamma(3/4)}{\Gamma(2)} = \frac{\pi}{2 \sin(\pi/4)} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}
    $$

扩展形式

广义三角形式

对于任意积分限 $[0, \phi]$：
$$
B_{\phi}(x, y) = 2 \int_{0}^{\phi} \sin^{2x-1}\theta \cos^{2y-1}\theta , d\theta
$$

双参数形式

$$
B(x, y) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}} dt
$$