伽马函数与贝塔函数

伽马函数

定义

伽马函数（Gamma Function）是阶乘函数在实数与复数域上的扩展。对于正实数 $x$（$x > 0$），伽马函数的定义如下：

$$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt$$

对于正整数 $n$，伽马函数满足：

$$\Gamma(n) = (n-1)!$$

性质

1. 递推关系：$\displaystyle \Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$

2. 特殊值：

   • $$\Gamma(1) = 1$$
   • $$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$$
3. 欧拉反射公式： $$\Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}$$

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例题

例题1：计算 $\displaystyle \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$

解：
利用递推关系：

$$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$$

已知 $\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$，因此：

$$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$$

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例题2：验证 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x} \, dx = \Gamma(3)$

解：
根据伽马函数定义：

$$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x} \, dx = \Gamma(3)$$

计算得：

$$\Gamma(3) = 2! = 2$$

因此积分值为 $2$

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伽马函数的推广形式

指数部分为 $-a x$ 的广义积分

当积分中的指数函数形式为 $\displaystyle e^{-a x}$（$a > 0$）时，伽马函数的定义可推广为：

$$\int_{0}^{\infty} x^{k-1} e^{-a x} \, dx = \frac{\Gamma(k)}{a^k}, \quad k > 0, \, a > 0$$

推导过程

通过变量替换 $\displaystyle t = a x$（即 $\displaystyle x = \frac{t}{a}$，$\displaystyle dx = \frac{dt}{a}$），原积分变为：

$$\int_{0}^{\infty} \left(\frac{t}{a}\right)^{k-1} e^{-t} \cdot \frac{dt}{a} = \frac{1}{a^k} \int_{0}^{\infty} t^{k-1} e^{-t} \, dt = \frac{\Gamma(k)}{a^k}$$

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例题

例题3：计算 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-2x} \, dx$

解：
对应形式为 $k = 4$，$a = 2$：

$$\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-2x} \, dx = \frac{\Gamma(4)}{2^4} = \frac{3!}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$

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例题4：计算 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} e^{-3x} \, dx$

解：
对应形式为 $k = \frac{3}{2}$，$a = 3$：

$$\int_{0}^{\infty} x^{\frac{1}{2}} e^{-3x} \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{3^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{3 \sqrt{3}} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\pi}}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{\pi}}{6 \sqrt{3}}$$

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例题5：验证 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x e^{-5x} \, dx = \frac{1}{25}$

解：
对应形式为 $k = 2$，$a = 5$：

$$\int_{0}^{\infty} x e^{-5x} \, dx = \frac{\Gamma(2)}{5^2} = \frac{1!}{25} = \frac{1}{25}$$

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伽马函数在指数为二次时的推广

高斯积分（指数为 $-a x^2$ 的情形）

对于形如 $\displaystyle e^{-a x^2}$ 的指数函数，积分可以表示为：

$$\int_{0}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}, \quad a > 0$$

一般形式

对于积分：

$$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx, \quad n \geq 0, a > 0$$

结果为：

$$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx = \frac{1}{2}a^{-\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)$$

推导过程

令 $u = a x^2$，则：

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx &= \frac{1}{2}a^{-\frac{n+1}{2}}\int_{0}^{\infty} u^{\frac{n-1}{2}} e^{-u} du \\ &= \frac{1}{2}a^{-\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) \end{aligned}$$

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例题

例题6：计算 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-3x^2} dx$

$$\int_{0}^{\infty} e^{-3x^2} dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3\pi}}{6}$$

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例题7：计算 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} dx$

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} dx &= \frac{1}{2} \cdot 2^{-\frac{3}{2}} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2^{5/2}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi} \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{8\sqrt{2}} \end{aligned}$$

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例题8：计算 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x^2} dx$

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x^2} dx &= \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi} \\ &= \frac{3\sqrt{\pi}}{8} \end{aligned}$$

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更一般情形

对于积分：

$$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^m} dx, \quad n \geq 0, a > 0, m > 0$$

结果为：

$$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-a x^m} dx = \frac{1}{m}a^{-\frac{n+1}{m}}\Gamma\left(\frac{n+1}{m}\right)$$

示例：计算 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^4} dx$

$$\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^4} dx = \frac{1}{4}\Gamma(1) = \frac{1}{4}$$

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伽马函数速记

规定：$\displaystyle (-\frac{1}{2})!=\sqrt{\pi}$ ，$\displaystyle (\frac{1}{2})!=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$，$\displaystyle (\frac{3}{2})!=\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^a e^{-x} dx = a!$	$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^a e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{a-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \quad e^{-x} dx = 0!$	$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \quad e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{0-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^1 e^{-x} dx = 1!$	$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^1 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{1-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x} dx = 2!$	$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{2-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x} dx = 3!$	$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{3-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x} dx = 4!$	$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{4-1}{2})!$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^5 e^{-x} dx = 5!$	$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^5 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}(\frac{5-1}{2})!$

贝塔函数

定义

积分定义

贝塔函数（Beta Function）是两类特殊函数之一，定义为以下含参积分：

$$B(x, y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt \quad (x > 0, y > 0)$$

• 收敛性：当且仅当 $x>0$ 且 $y>0$ 时积分收敛
• 对称性：$\displaystyle B(x,y) = B(y,x)$

1.2 伽马函数关系

贝塔函数与伽马函数（Gamma Function）存在如下关系：

$$B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$

其中伽马函数定义为：

$$\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$$

重要性质

性质	数学表达式
递推关系	$\displaystyle B(x+1,y) = \frac{x}{x+y} B(x,y)$
三角函数形式	$\displaystyle B(x,y) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2x-1}\theta \cos^{2y-1}\theta d\theta$
与组合数关系	$\displaystyle B(n, m) = \frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}$ （$n,m \in \mathbb{Z}^+$）

典型例题

例题1：基础积分计算

计算 $B(3, 2)$

分步解析：

1. 根据积分定义：

   $$B(3, 2) = \int_{0}^{1} t^{2} (1-t)^{1} dt$$

2. 展开被积函数：

   $$= \int_{0}^{1} (t^2 - t^3) dt$$

3. 逐项积分：

   $$= \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{1}$$

4. 代入上下限：

   $$= \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$

验证：通过伽马函数验证：

$$B(3,2) = \frac{\Gamma(3)\Gamma(2)}{\Gamma(5)} = \frac{2! \cdot 1!}{4!} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$$

例题2：三角函数形式

证明：

$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^5 x \cos^3 x dx = \frac{1}{24}$$

分步解析：

1. 转换为贝塔函数形式：

   $$\text{原式} = \frac{1}{2} B(3, 2)$$

2. 计算贝塔函数值：

   $$B(3,2) = \frac{\Gamma(3)\Gamma(2)}{\Gamma(5)} = \frac{1}{12}$$

3. 最终结果：

   $$\frac{1}{2} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$$

扩展公式

不完全贝塔函数：

$$B_z(a,b) = \int_{0}^{z} t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt \quad (0 \leq z \leq 1)$$

正则化贝塔函数：

$$I_z(a,b) = \frac{B_z(a,b)}{B(a,b)}$$

贝塔函数的三角形式详解

基本三角形式定义

贝塔函数可以通过三角函数表示为：

$$B(x, y) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2x-1}\theta \cdot \cos^{2y-1}\theta \, d\theta \quad (x>0, y>0)$$

推导过程

变量代换

从标准积分定义出发：

$$B(x, y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt$$

作变量替换：

$$t = \sin^2 \theta, \quad 1-t = \cos^2 \theta$$

微分变换：

$$dt = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$$

积分限变化

当 $t=0$ 时 $\theta=0$，当 $t=1$ 时 $\theta=\pi/2$，因此：

$$\begin{aligned} B(x, y) &= \int_{0}^{\pi/2} (\sin^2 \theta)^{x-1} (\cos^2 \theta)^{y-1} \cdot 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta \\ &= 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2x-1}\theta \cdot \cos^{2y-1}\theta \, d\theta \end{aligned}$$

特殊情形

对称性体现

当 $\displaystyle x = y = \frac{1}{2}$ 时：

$$B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = 2 \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \pi$$

整数参数情形

对于 $\displaystyle m, n \in \mathbb{Z}^+$：

$$B(m, n) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2m-1}\theta \cos^{2n-1}\theta \, d\theta$$

典型例题

例题1：计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^5 \theta \cos^3 \theta \, d\theta$

解：

1. 识别贝塔函数形式：

   $$\text{积分} = \frac{1}{2} B(3, 2)$$

2. 计算贝塔函数值：

   $$B(3, 2) = \frac{\Gamma(3)\Gamma(2)}{\Gamma(5)} = \frac{2! \cdot 1!}{4!} = \frac{1}{12}$$

3. 最终结果：

   $$\int_{0}^{\pi/2} \sin^5 \theta \cos^3 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$$

例题2：证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\tan \theta} \, d\theta = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

分步解析：

1. 令 $t = \tan \theta$，则：

   $$\int_{0}^{\pi/2} \tan^{1/2} \theta \, d\theta = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{1/2}}{1+t^2} dt$$

2. 转换为贝塔函数：

   $$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{u^{1/4}}{1+u} du \quad (u=t^2) \\ = \frac{1}{2} B\left(\frac{5}{4}, \frac{3}{4}\right)$$

3. 利用伽马函数性质：

   $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\Gamma(5/4)\Gamma(3/4)}{\Gamma(2)} = \frac{\pi}{2 \sin(\pi/4)} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$$

扩展形式

广义三角形式

对于任意积分限 $[0, \phi]$：

$$B_{\phi}(x, y) = 2 \int_{0}^{\phi} \sin^{2x-1}\theta \cos^{2y-1}\theta \, d\theta$$

双参数形式

$$B(x, y) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}} dt$$